休谟原则与弗雷格定理

弗雷格《算术的基本规律》中二阶逻辑理论FL是不一致的,在语法上可以推演出罗素悖论,在语义上,矛盾于康托尔定理,进而是不可满足的。通过仔细考察弗雷格的逻辑系统FL、FL的子系统FA以及算术还原为逻辑的推理过程,可以看出弗雷格在用公理五与概念的数的显定义推演出休谟原则后,不再实质依赖于公理五与概念的数的显定义。休谟原则与带完整二阶存在概括规则的二阶逻辑组成的系统FA是一致的,并且足以推出戴德金皮亚诺系统的五条公理,这实质上给出了不同于皮亚诺公理系统的另外一种算术公理化系统。根据自然数的定义,弗雷格实质上利用数学归纳法证明了每个自然数都有后继存在,加上后继的唯一性,弗雷格就保证了无穷多的自然数的存在。     

弗雷格《概念文字》理解的两点注记

文章旨在简要地讨论弗雷格《概念文字》,指出其中的两个重要但被一些国内学者误解或忽略的贡献：首先我们指出,根据Boolos等人的论证,弗雷格《概念文字》中的逻辑本质上是带完整二阶存在概括规则的二阶逻辑,这点在国内一些学者的著作与文章中存在误解;其次,我们讨论弗雷格如何用遗传性概念来定义祖先关系,进而定义自然数或有穷数,并使得数学归纳法仅根据自然数的定义就得以成立,这也为弗雷格把算术还原为逻辑奠定了基础。     

现代西方悖论研究

为了实现把数学还原为逻辑这一逻辑主义的基本纲领,弗雷格发明了一种表意文字,并用这种文字建立了一个表达逻辑规律和推理规律的初步自足的公理系统和一个高阶的逻辑系统,借助于这两个公理系统、他用一些基本的逻辑概念严格定义了自然数,并且建立了自然数的基本性质。然而就在他的工作即将完成之际,英国逻辑学家罗素却发现,在弗雷格的公理系统中,依靠“概括原则”可以推出“不属于自身的集合的集合”的悖论。这就是著名的罗素悖论。其实“罗素悖论”并不是首次在数学中发现的悖论。早在1895年弗雷格就在自己的集合论中发现了一个悖论。1899年康托也发现了一个更简单、更基本的集合论悖论,即著名的“康托悖论”。在此之后,人们又发现了一些其他悖论。随着越来越多的悖论的发现,兴起     

不可超越的无穷：关于直谓性和后继公理的关系

本文首先将新弗雷格主义的发展划分为三个阶段：（1）弗雷格算术（由二阶逻辑和休谟原则构成的理论）的一致性和对于二阶皮亚诺算术公理的可推出性的证明,（2）对休谟原则和二阶逻辑的哲学辩护与反驳,（3）对休谟原则和二阶逻辑进行限制,并证明其一致性和可推出性。然后着重介绍：（1）直谓二阶逻辑和公理V的一致性,（2）直谓二阶逻辑和休谟原则不能推出皮亚诺算术的后继公理。这说明一致性和可推出性在弗雷格系统的直谓片段中不可兼得。最后在直观上做出简单的分析。     

弗雷格的《算术基本规律》

弗雷格被看作是分析哲学的奠基人和数理逻辑的创始人,然而,他的毕生工作都致力于建立一种被称为逻辑主义的数学哲学。他在《算术基本规律》一书中给出了执行逻辑主义方案的形式系统。然而,由于罗素悖论的发现,很少有人关注弗雷格的《算术基本规律》。本文将主要介绍《算术基本规律》一书,包括其符号系统的说明,公理、规则、定义和定理的说明,罗素发现的悖论以及弗雷格的补救措施。     

弗雷格哲学思想述论

弗雷格是现代德国著名数学家、逻辑学家和哲学家。作为数学家、逻辑学家,弗雷格被当代西方公认为“十九世纪现代逻辑的最大天才”(肖尔兹:《简明逻辑史》,商务印书馆1977年版,第55页),“他的各种发现具有划时代的性质”(罗素:《西方哲学史》下卷,商务印书馆1981年版,第390页)。1879年他发表的《概念语词》,制定了命题演算的第一个公理系统,他提出的蕴涵、否定、量词和同一概念是他留给现代逻辑     

《算术基本规律》序言

弗雷格在两卷本的《算术基本规律》中以严格形式化的方式完成了逻辑主义的任务,即用逻辑符号定义算术符号,然后从逻辑公理推出算术公理。在该书的序言中,弗雷格首先重申了逻辑主义的目标及其哲学意蕴;其次,他介绍了《算术基本规律》一书的主要内容和阅读方法,并且说明了他的形式系统从《概念文字》到《算术基本规律》的转变过程;最后,他以埃德曼的《逻辑学》一书为靶子,激烈地批判了逻辑学中的心理主义思潮。     

哥德尔的直觉主义逻辑思想

哥德尔（Kurt Godel）是现代逻辑史上的巨匠，他在逻辑史上有两大贡献：一是他证明了罗素和怀特海在《数学原理》中提出的一阶逻辑演算的完全性定理（1930），即任何有效的一阶公式都是可证的。二是他证明了著名的不完全性定理（1931），《数学原理》的系统和集合论的ZF公理系统不足以判定能在这些系统中形式化的所有数学问题...     

弗雷格定理:一个导言

戈特洛布·弗雷格是现代数理逻辑的奠基人,也是分析哲学的创始人之一。他的大部分工作都致力于建立一种数学哲学———逻辑主义:算术真理都是逻辑真理。长久以来,哲学家一直认为,罗素悖论彻底瓦解了弗雷格的工作。然而实际的情况是,在弗雷格那里隐藏着另一个证明:算术公理可以纯粹逻辑地从休谟原则推出。休谟原则是说,概念F的数和概念G的数相同当且仅当存在F和G之间的一一对应关系。这一结果被称为弗雷格定理,它引发了一种新的逻辑主义的兴起。     

思想的逻辑问题域与逻辑学的发展

弗雷格作为数理逻辑、逻辑哲学、数学哲学与语言学的大师,在他对上述学术领域的所有开创性的贡献中,至今仍发生重大影响力的,几乎都与关于思想的理论有关。弗雷格的数理逻辑系统和关于思想的理论,是引起哲学和逻辑学的历史性重大变革的理论根源和动力。弗雷格创造了哲学和逻辑学的崭新的概念和范式,他关于思想的理论,已经成为当代逻辑哲学和哲学逻辑（广义的）的一个基本理论问题,这个被弗雷格问题专家之一的D·贝尔称之为“最持久最具有革命性的贡献”,至今仍释放出源源不断的能量。在拙作《思想的逻辑哲学分析》（见《华南师大学…     

卢卡西维茨对逻辑的贡献

波兰逻辑发展的最近一个时期的杰出人物是卢卡西维茨,他是特瓦多斯基的学生,后来继承和发展了皮尔士、耶芳斯(Jevons)、施罗德(Schr(?)der)、弗雷格、罗素和怀特海,维拉蒂(Vailati)、库蒂拉(Couturat)和西欧其他逻辑泰斗的成就。他首先研究、思考的是什么?他发现了什么?解释了什么?把所有这些问题归为一点,我们可以回答说,卢卡西维茨创造了一个可以进行命题演算的完整的公理系统系列;他第一个建立了多值逻辑系统;他把亚里士多德的三段论公理化;他证明了亚里士多德的三段论与斯多葛派的逻辑之间的真正关系;他     

论弗雷格的概念学说

一、对象与概念：弗雷格对基数的构造不研究弗雷格对基数的构造,就不会找到弗雷格对概念和对象区分的根源,亦不可能恰当地理解其独特的概念学说。弗雷格试图通过用纯逻辑的手段构造数的方式来证实他的基本信念：数是对象。数词有两种日常用法,一是作为语法上的形容词,另一是作为语法上的专名。弗雷格的首要工作是制定一种能消除数词第一种日常用法的逻辑句法。这个工作的第一步是把包含作为语法形容词的数词的句子改写成弗雷格称为赋数命题的句子,即回答“有多少··？”的句子,其一般形式为“有n个）…”。例如,把句子“地球有一个…     

《逻辑哲学论》中的真理概念

维特根斯坦在其《逻辑哲学论》中集中讨论了真理概念,他处理这个概念的方式表明了如何理解语言与实在的关系,以及在何种意义上没有否定记号所代表的实在之物。本文从维特根斯坦关于真理符合论的表述是否会遭到弗雷格的批评这个问题入手,对照戴尔蒙德关于维特根斯坦真理概念的解释,给出了自己的解读,按照这种解读,真内在于使用命题的活动。     

弗雷格意义理论中的“內容分派”原理

在《算术基础》中,弗雷格说:“直线a平行于直线b”与“a的方向=b的方向”的区别在于“我们以一种不同于原来的方式分派了内容”。对弗雷格定义数的逻辑主义方案来说,这种重塑似乎是关键的,但似乎又与他后来的意义和指称的理论不协调。我特地阐述一种对重塑的限制:如果一个名称有可能引入新的无指称,那么它就不能被引入。弗雷格的例子遵守这种限制。这种限制区别了各种依赖于重塑步骤的与“弹弓”论证相关的论证。依据弗雷格的原理,我为该限制提出一种论证,并在A.丘奇(Church)的“意义和指称的逻辑”中把它作了形式化处理,还简单讨论了丘奇的“系统(0)”中各种与重塑不协调的公理。     

意义理论

意义理论是语言哲学的核心,美国著名哲学家戴维森和英国著名哲学家达米特是这个理论的两个最主要的代表人物。本文将围绕他们的一些论述来探讨意义理论,主要目的不在于这个理论本身,而是要揭示其中所牵涉到的逻辑方法,希望由此不仅可以说明意义理论的主要思想及其特征,而且可以说明逻辑与哲学的关系。一、达米特的意义理论1973年,达米特发表了其代表作《弗雷格的语言哲学》,其中多次谈到弗雷格的意义理论,并提出了一个基本框架。在这以后,他以“什么是意义理论?”为题发表了两篇文章,尤其是在《什么是意义理论?(II)》(1976)中,他基于弗雷格…     

逻辑和哲学─—读张家龙著《数理逻辑发展史》

在古希腊，人们把逻辑看作是鸡蛋的蛋壳，把哲学看作是蛋黄，因而逻辑和哲学属于一体。到了本世纪，随着现代逻辑的发展，逻辑从哲学分裂出来，成为一门独立的科学，并且得到越来越普遍的应用。我国第一部数理逻辑史专著，张家龙的《数理逻辑发展史—一八莱布尼兹到哥德尔》一书（社会科学文献出版社1993年版；以下简称《史》）系统地洋细地研究介绍了从莱布尼兹提出建立“普遍语言”和把推理转变成“演算”的设想，经弗雷格建立第一个一阶谓词演算系统，到哥德尔建立不完全性定理，数理逻辑这三百多年来，特别是近一百多年来形成和发展的波…     

思维四律不能表述为重言式

思维四律不能表述为重言式陈波近年来,有一种见解在我国逻辑学界十分流行：传统逻辑的四条思维基本规律即同一律、矛盾律、排中律、充足理由律只不过是现代逻辑演算系统中的重言式或普遍有效式（简称永真式）并不具有特殊的地位。但在实际处理时,很多逻辑教材又在此种观点和传统观点之间折衷：一方面承认思维四律是逻辑演算的重言式,另一方面又仍然给予它们以基本规律的特殊地位。我认为,上述见解和处理并不正确,其中隐藏着一个根本性的理论错误。对于元逻辑来说,在构造和研究逻辑演算系统时,作出下述区分是至关重要的：对象语言和元语言,内定理和元定理,以及内定理和元规则等。这里,对象语言是被刻画和被研究的逻辑演算系统内所使用的语言,内定理是用对象语言表述的该系统所肯定和接受的命题;而元语言则是用以刻画和研究对象语言的语言,它本身可区分为语形语言和语义语言,例如,“肯定”、“否定”、“可证”、“定理”“证明”等是典型的语形概念．而“真”、“假”、“重言式”、“普遍有效”等是典型的语义概念。元定理是用元语言表述的关于该演算系统的定理,它们刻画着该系统的某种性质或特征。元规则也是用元语言表述的,它指导着人们如何在该系统中从公理推演出定理。如果套用上     

什么是逻辑?

逻辑研究的对象是什么？国内流行的观点认为逻辑研究的对象是“思维形式”、“思维的一般形式和一般规律”或“思维的形式结构”等等。诸如此类的定义非常多，也不能说一点道理没有。但笔者认为这些说法至少有两个缺点：（1）不易把握。什么是思维形式、思维的一般形式、一般规律或形式结构？要么就是根本说不清楚，要么就是难于说清。（参见王路：《弗雷格思想研究），社会科学文献出版社1996年版，第222页）（2）定义过宽。思维形式或思维的一般形式等不能完全由逻辑来研究，逻辑也研究不了。例如，通常人们说的理性思维有概念、判断和推…     

基于广义谢弗竖的分析性模态公理系统

沿着安德森等人开创的方向,我们将分析性公理系统从经典逻辑推向模态逻辑,所定义的广义谢弗竖混合了模态词和广义析舍。在这篇论文中,我们给出常见的正规模态逻辑的分析性公理系统及其强完全性定理和插值定理,并讨论演绎关系的性质：单调性和切割性。     

通向实数的第三条路——《算术的基本规律》中的实数理论

弗雷格的逻辑主义的一个组成部分是将实数理论还原为逻辑。在《算术的基本规律》中,实数被定义为量域中的量的比例,而量域是一个属于正类的类。尽管《算术的基本规律》中的系统有矛盾,但是这本著作中的实数理论能以一致的方式加以重构。库契拉选择在集合论的框架中重构它。他证明了弗雷格的量域和实数集是稠密连续有序且具有阿基米德性的阿贝尔群。本文在库契拉的重构的基础上,进一步指出它们是戴德金连续的阿基米德有序域。