先天综合命题思想的判决性实例

明确论断和详细论证7+5=12这般意义明晰的命题的分析/综合性质,是每一位关心数学命题的认识论地位的数学哲学家、每一位关心分析—综合二分法和先天综合命题实存性的哲学家都无法回避的问题。继给出关于这一问题的穷尽所有可能的五个论断,并逐一反驳前四个论断,第五个论断最终得以被支持。这个论断是说:7+5=12是先天综合命题,但并非基于康德的理由。该论断为先天综合命题思想提供了判决性实例。对第五个论断的论证,一方面基于现代视角对算术命题的深刻内涵的理解,另一方面在哲学史上各个流派关于分析—综合二分法的观点间扬长避短。     

弗雷格定理:一个导言

戈特洛布·弗雷格是现代数理逻辑的奠基人,也是分析哲学的创始人之一。他的大部分工作都致力于建立一种数学哲学———逻辑主义:算术真理都是逻辑真理。长久以来,哲学家一直认为,罗素悖论彻底瓦解了弗雷格的工作。然而实际的情况是,在弗雷格那里隐藏着另一个证明:算术公理可以纯粹逻辑地从休谟原则推出。休谟原则是说,概念F的数和概念G的数相同当且仅当存在F和G之间的一一对应关系。这一结果被称为弗雷格定理,它引发了一种新的逻辑主义的兴起。     

数学真理的问题

在当前数学实践中,数学知识（如果有这样的知识的话）是通过在定义和公理的基础上证明定理来获得的。问题在于该怎样理解证明中所得到的东西是如何构成知识的,具体而言,即是要给出一个关于数学真理和数学知识的统一的解释,该解释能够揭示两者的内在联系。此处的困难是,根据贝纳塞拉夫的为人熟知的论证,由于塔斯基语义学认为真与对象的联系（通过单称词项或通过量词）是不可消去的,因此在数学中无法将塔斯基语义学与完整的认识论相结合：数学知识要么是通过证明得到的,这种情况下数学知识与数学对象是无关的,因此我们就无法解释数学真理;要么数学对象是数学真理的构件,从而数学知识不是通过证明得到的,这种情况下我们就无从理解数学知识。接着,本文通过一系列阶段,将这些困难一直追溯到最基本的逻辑观念,即将之看作形式的和纯粹解释性的：如果数学是从概念出发仅仅使用逻辑的推理实践,依照康德,那么数学应该是分析的,也即,仅仅是解释性的,根本就不是通常意义上的知识。我认为,这对数学真理是真正困难的问题。本文概括了四种回应,其中仅有一个有希望解决我们的困难,也即皮尔斯和弗雷格的回应。根据他们的方案,逻辑是科学,因此是实验性的和可错的;符号语言是有内容的,尽管并不涉及与任何对象的关联;证明是构成性的,因此是富于产出的过程。通过充分发展这些观点,我们将有可能最终解决数学真理的问题。     

弗雷格的《算术基本规律》

弗雷格被看作是分析哲学的奠基人和数理逻辑的创始人,然而,他的毕生工作都致力于建立一种被称为逻辑主义的数学哲学。他在《算术基本规律》一书中给出了执行逻辑主义方案的形式系统。然而,由于罗素悖论的发现,很少有人关注弗雷格的《算术基本规律》。本文将主要介绍《算术基本规律》一书,包括其符号系统的说明,公理、规则、定义和定理的说明,罗素发现的悖论以及弗雷格的补救措施。     

论语句的涵义与指称——对弗雷格的涵义-指称理论的一些修正(英文)

弗雷格把语句的涵义看作思想,把语句的指称看作真值。本文接受弗雷格关于语句的涵义-指称的意义结构,但把语句的涵义和指称分别改为语法意义和事态。语句的真或假是语句和它所指称的事态之间的一种关系,类似于名称同它的指称对象之间的实-空关系。弗雷格关于思想的客观性转换为语法意义的客观性,体现为语言共同体成员的主体间性。本文区分了指称对象和指称意向,把指称意向定义为涵义和语境的结合,相当于弗雷格所说的判断。本文还对语句的语法意义和认识论意义作了区分。     

必然性的逻辑分析

必然性是命题的一种性质。在本文中,我们依据现在逻辑处理命题性质的一般方法,讨论必然性这种命题性质。首先讨论现在逻辑是如何处理命题和命题性质的,然后分析关系语义学如何处理必然性,并指出其不足之处,最后用更一般的方法对其进行分析,给出刻画必然性     

康德的综合和分析概念

先天综合判断如何可能的问题是康德《纯粹理性批判》的基本问题。可能性问题是先验真理问题,而综合正是回答先天综合判断真理问题的关键。本文对康德综合概念的四重含义进行了考察,它们是逻辑学的综合概念、认识论的综合概念、方法论的综合概念、存在论的综合概念。本文对相关的分析概念进行了连带的考察,但是同时指出综合概念是整个批评的基石和线索之所在。     

《逻辑哲学论》中的真理概念

维特根斯坦在其《逻辑哲学论》中集中讨论了真理概念,他处理这个概念的方式表明了如何理解语言与实在的关系,以及在何种意义上没有否定记号所代表的实在之物。本文从维特根斯坦关于真理符合论的表述是否会遭到弗雷格的批评这个问题入手,对照戴尔蒙德关于维特根斯坦真理概念的解释,给出了自己的解读,按照这种解读,真内在于使用命题的活动。     

不可超越的无穷：关于直谓性和后继公理的关系

本文首先将新弗雷格主义的发展划分为三个阶段：（1）弗雷格算术（由二阶逻辑和休谟原则构成的理论）的一致性和对于二阶皮亚诺算术公理的可推出性的证明,（2）对休谟原则和二阶逻辑的哲学辩护与反驳,（3）对休谟原则和二阶逻辑进行限制,并证明其一致性和可推出性。然后着重介绍：（1）直谓二阶逻辑和公理V的一致性,（2）直谓二阶逻辑和休谟原则不能推出皮亚诺算术的后继公理。这说明一致性和可推出性在弗雷格系统的直谓片段中不可兼得。最后在直观上做出简单的分析。     

休谟原则与弗雷格定理

弗雷格《算术的基本规律》中二阶逻辑理论FL是不一致的,在语法上可以推演出罗素悖论,在语义上,矛盾于康托尔定理,进而是不可满足的。通过仔细考察弗雷格的逻辑系统FL、FL的子系统FA以及算术还原为逻辑的推理过程,可以看出弗雷格在用公理五与概念的数的显定义推演出休谟原则后,不再实质依赖于公理五与概念的数的显定义。休谟原则与带完整二阶存在概括规则的二阶逻辑组成的系统FA是一致的,并且足以推出戴德金皮亚诺系统的五条公理,这实质上给出了不同于皮亚诺公理系统的另外一种算术公理化系统。根据自然数的定义,弗雷格实质上利用数学归纳法证明了每个自然数都有后继存在,加上后继的唯一性,弗雷格就保证了无穷多的自然数的存在。