“不可或缺性论证”与反实在论数学哲学

一、引言20世纪初的数学哲学研究侧重于探讨数学基础问题,由此产生了逻辑主义、形式主义与直觉主义等数学基础流派。进入20世纪中期以后,数学基础问题不再困扰数学家们,哲学家们也开始转向关注经典数学的本体论与认识论问题。这包括探讨抽象数学对象是否在字面意义上存在,数学定理是否为关于抽象数学对象的客观真理,我们如何能够获得、确证经典数学的知识,以及数学为何可应用等等。这些哲学问题其实是自柏拉图以来的传统哲学家们所关心的本体论问题,以及自17、18世纪经验主义与理性主义以来的传统哲学家们所关心的认识论问题,在数学领域的反…     

理念主义与形式主义的巴别塔

圣经里讲了一个关于语言的故事,早期的先民们使用相同的语言,尝试建立通天的巴别塔,这个计划因为语言变乱而失败。这个故事或许隐喻着:人类是不可能通过语言来达到真理的。然而,人类自从吃了知识果,走出了伊甸园,就担当起自己的运命。从理念主义(Rationalism)和形式系统(Formalism)这两条线索,人类尝试着重建新的巴别塔。我们从理念主义的线索,沿着柏拉图的理念世界,到康德的先天准则,再到胡塞尔的本质直观,评论了理念主义的不自明性,提出了使用处于构造之中的"共相"来代替"理念"或者"本质"。维特根斯坦提出"家族相似",反对理念主义和本质主义,但"家族相似"可能过于宽泛。另一方面,从形式主义的线索,沿着莱布尼兹的通用计算,到弗雷格和罗素的逻辑主义,到希尔伯特的形式主义纲领,再到哥德尔不完备性定理,评论了逻辑主义和形式主义的失败。形式主义失败之后,人们转向形式主义的能力范围研究,从而提出了图灵机,为计算机科学的出现奠定了理论基础。基于以上的思考,文中最后提出一些有待研究的问题,比如基于关系的数学,基于谓词的逻辑,矛盾但完备的形式系统。     

对传统逻辑的有力挑战——评《经典逻辑与直觉主义逻辑》

直觉主义哲学是一种反理性主义的唯心主义哲学思潮。数学研究中的构造主义是一种有关数学基础的观点,它主张自然数及其某些规律和方法,特别是数学归纳法,是可靠的出发点,其它一切数学对象和理论都应该从自然数构造出来。所谓“构造”出来,是指:(1)对存在命题“有X具有A性质”的一个证明,必须根据该证明能找到一个特殊的对象X,X满足A;(2)只有在有一个方法能判明一命题或其否定中有一个是真的条件下,才能承认该命题或者其否定为真,不承认任一命题非真即假。直觉主义哲学家不一定建立一套构造性数学;从事构造性数学研究的数学家也不一定信仰直觉主义哲学。构造性数学是数学的一个部分。直觉主义逻辑,也称构造逻辑,是从事构     

理解数学:代数式的进路——访英国利物浦大学哲学系玛丽·兰博士

玛丽.兰(Mary Leng)是英国当代数学哲学界的青年代表人物之一,她的主要研究兴趣包括数学中的虚构主义、数学反实在论以及数学应用中的哲学问题等,其即将出版的著作为《数学与实在》。2006年5月她专程到山西大学科学技术哲学研究中心讲学访问,在此期间,笔者对她就当代数学哲学中的各种代数式观点进行了专访。问:传统的数学哲学最关注数学基础问题,哲学家与数学家们都试图为数学找到一个坚实而明确的公理基础。逻辑主义、形式主义以及直觉主义者三大基础纲领已经被发展起来,但学界就这一问题始终未达到共识。请问,数学基础问题的研究在当代西…     

基于构造性思想的直觉主义逻辑证明语义

布劳威尔的直觉主义把数学理解为心智的构造性活动,只接受心智可构造的数学对象和数学证明。在直觉主义看来,判定一个命题为真必须要给出这个命题的构造性证明,对逻辑联结词及量词的理解也是基于构造性立场的。本文构建了直觉主义逻辑的证明语义,这是一种内涵语义,其特点是:遵循构造性思想、尽量贴近直观、避免使用集合概念,语义解释从具体命题、具体对象(个体)、具体性质和关系等出发,使具体命题成为"公式解释"和"直观有效"概念的基础。进而在这种语义下证明了直觉主义命题逻辑和谓词逻辑的可靠性。     

二十世纪的逻辑学

逻辑主义、直觉主义和形式主义二十世纪初,当罗素申言,算术是逻辑的延伸时,他从意大利数学家和逻辑学家皮亚诺的早期研究成果中颇有受益。皮亚诺不相信,算术的初始概念即零、数和一个数的后继能化归为逻辑的术语。然而,他认为值得想望的是把算术建立在公理基础之上。含有这个意思的建议初次发表在他的《用新方法说明的算术原理》     

罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位

20世纪初,在逻辑和数学中发现了许多悖论,包括罗素本人所发现的悖论(后被称为罗素悖论)。这些悖论动摇了数学的基础,史称第三次数学危机。为了解决这一次数学危机,罗素提出了逻辑主义的纲领,并得到一些著名的逻辑学家的支持,成为数理逻辑中的三大学派之一。本文旨在对罗素的逻辑主义作出全面的科学的评述。一、数学概念和数学定理的推导罗素的逻辑主义包含两个部分:(1)数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来;(2)数学定理可以通过纯逻辑推演(即一阶逻辑演算)由逻辑公理推导出来。罗素所使用的逻辑概念有:命题联结词(否定,析取,合取,蕴涵)…     

数学是一门客观的科学

本文作者是美国纽约州立大学数学系教授。他从客观性原则出发,认为数学是一门客观的科学,并对数学哲学中的形式主义、直觉主义、逻辑主义和柏拉图主义作了分析和评论,引起数学界一些人的重视。例如S.M.莱恩说:“数学哲学中的这些学派或理论没有一个对数学的本质作出令人满意的分析。N.D.古德曼最近写的一篇文章《数学是一门客观的科学》,对这种缺陷作了令人信服的分析。最近发表的数学哲学方面的一些著作,从普特兰、奎因到王浩,都很少提出新的见解,很少从数学输入新的东西”(《数学译林》1989年第2期第136—144页)。为了使读者了解古德曼的工作,我把它翻译出来,供读者参考。     

不完全性、构造论和真

是否宁择直觉主义语义而不要经典语义？已知接受语义原则需要接受相应的逻辑规律,是否宁择直觉主义逻辑而不要经典逻辑？哥德尔第二不完全性定理对这两个问题有结论吗？虽然在哥德尔1931年的结果发表以后已提出了该定理的一些非构造性证明,例如布洛斯1989年的证明,但好象哥德尔最初的证明显然不会对逻辑选择问题有什么意义,因为它明显地在经典立场和直觉主义立场之间保持中立。哥德尔认为值得提醒他的读者们,他的证明确实是构造性的。他指出,事实上,第一不完全性结果是“以一种直觉主义无可反对的方式”得到的,并且也是作为他下述断…     

卡瓦耶斯的概念哲学及其传承

卡瓦耶斯 (JeanCavaill埁ｓ,1 90 3— 1 94 4)是法国著名的数学家、哲学家。他依靠历史方法批判了数学基础问题上的逻辑主义、形式主义和直觉主义 ,进而把数学看作一种自主的、不可预见但又必然生成变化的。他在思考数学基础和科学理论的基础上提出了概念哲学 ,用来反对笛卡尔、康德和胡塞尔的意识哲学。卡瓦耶斯的重要性在于他为巴歇拉尔、康吉莱姆、列维 -斯特劳斯和福柯等人提供了反意识哲学的思想养料 ,在于他在结构主义者们和福柯宣告主体死亡之前就提出一种反主体哲学和反意识哲学的概念哲学 ,从而导引了以后几十年法国哲学的走向。…     

应用于人工智能的逻辑学

导言非标准逻辑“非标准逻辑”这个名称通常用来指称那些不同于经典命题演算和谓词演算的逻辑。粗略地说，非标准逻辑可以被分为两类：相应于经典逻辑的逻辑和扩展了经典逻辑的逻辑。对于前者，我们以多值逻辑、模糊逻辑和直觉主义逻辑为例；对于后者，我们将阐述模态逻辑和时间逻辑。相应于经典逻辑的系统在所使用的语言上与经典的命题逻辑和谓词逻辑没有不同。所不同的是，经典逻辑的某些定理在非标准系统中是假的。最著名的例子是排中律，A或非A，它在经典逻辑中是可证的，而在直觉主义逻辑和3值逻辑的任何标准系统中都是不可证的。扩展…     

艺术数学或后现代思想的数学根源

一 这个题目充满着悖谬,它由某些未曾有过的思想连线组成,考验着有史以来人类智力活动的有效性.例如,它竟然肯定浪漫主义精神是理性的甚至是科学的.这个立场的科学根源,竟在于追溯数学真理的形式主义与直觉主义"起源"过程中的两难.     

直觉主义认知逻辑与不同程度的真

直觉主义认知逻辑IEL不仅为邱奇–费奇悖论提供了解悖思路,还促进了直觉主义认识论的研究。IEL的构建旨在遵循BHK解释,以“直觉主义知识就是证实的结果”作为核心观点,接纳A→KA和KA→??A。IEL的预期解释借助“证实”概念给出了“直觉主义知识KA的证明”的定义,并以此扩展BHK解释。但直觉主义逻辑依赖于直觉主义数学,这使得BHK解释的核心在于对构造性证明的要求,基于此,IEL的预期解释偏离了BHK解释的初衷,进而IEL未能达到预期构建目标。通过对KA作新解读,能引出直觉主义真和经典真之间不同程度的真,IEL系统的一些重要内定理也将获得新理解。此外,关于IEL系统对应问题的一个猜测被提出来。     

基于直觉主义逻辑的隐偏好分析

根据偏好及其变化是否在逻辑语言及语义模型中有直接的反映,可以将其分为隐偏好和显偏好。本文旨在对含有隐偏好信息的逻辑进行研究,基于对直觉主义逻辑中的认知信息的分析,通过修改直觉主义逻辑的语义解释提出了隐偏好逻辑,并证明了该逻辑系统的可靠性和相对于可区分模型类的完全性;最后,通过定义哥德尔式的翻译映射将隐偏好逻辑嵌入到偏好逻辑中。     

达米特的直觉主义数学哲学观——访英国哲学家、牛津大学哲学系迈克尔·达米特教授

迈克尔·达米特(M ichael Dummett)是20世纪英国最著名的哲学家之一,他的主要贡献在分析哲学、数学哲学、语言哲学和逻辑哲学等领域,尤其是他关于弗雷格哲学的研究奠定了他的整个哲学生涯,他是20世纪反实在论和数学哲学中直觉主义的主要代表人物,其主要著作有:《弗雷格:语言哲学》(1973);《直觉主义的成分)(1977);《弗雷格哲学的解释》(1981);《弗雷格和其他哲学家》(1991);《弗雷格:数学哲学》(1991);《形而上学的逻辑基础》(1991);《分析哲学的起源》(1993);《语言的海洋》(1993)等。2005年12月~2006年5月作者在英国牛津大学访问期间对他…     

直觉主义逻辑上的Friedman-Sheard理论

文章通过削弱经典的Friedman-Sheard理论的逻辑基础,讨论了基于直觉主义逻辑的IFS理论。通过将直觉主义逻辑的语义学与修正语义学相结合,文章提出了直觉主义修正语义学,并证明了IFS可以将这种直觉主义修正语义学公理化至第一个极限序数。文章在最后证明了FS可以通过否定性转换嵌入IFS。     

现象学价值伦理学

现象学价值伦理学,又称现象学伦理学,或道德现象学,是现代西方兼有非理性主义和形式主义倾向的一个伦理学流派。奥地利哲学家布伦坦诺及其信徒德国哲学家舍勒尔和哈特曼等人,是这一流派的创始人。现象学价值伦理学和直觉主义伦理学大致是同时产生的。它和直觉主义有许多共同之点。布伦坦诺的《正确知识与不正确知识的形式》和直觉主义伦理学奠基人穆尔的《伦理学原理》,都是一九○三年出版的。穆尔很赞赏布伦坦诺的著作,说布伦坦诺的观点比他所知道的其他伦理学家的观点“更类似于我的观点”。(穆尔《伦理学原理》,台湾版,第17页)。直觉主义主要流行于英国,而现象学伦理学则主要流行于德国等日尔曼语系国家。第一次世界大战前后传到美国。     

“价值是人”及其意蕴

在西方,哲学意义的价值研究,自19世纪末由德国哲学家洛采提出以来,至今已形成了直觉主义、自然主义和非认识主义三大流派;在我国,一座以“主体一客体”关系为逻辑结构的价值理论体系大厦也已赫然矗立。然而,不论是西方的价值流派,还是东方的主客关系价值论,在对“价值是什么”的认识上,都还存在着一种尚未察觉的逻辑缺陷。这种缺陷,一方     

直觉主义真与可知性悖论

直觉主义坚持"存在即被构造",这一要求不仅提供了研究认知的新视角,也提供了解决可知性悖论的新思路。本文基于阿尔特莫夫和普罗托波佩斯库提出的直觉主义认知逻辑IEL,阐释并分析一种解决可知性悖论的新方法;随后,进一步讨论这种新方法的构造性特征以及由此带来的一些启示。     

弗雷格的《算术基本规律》

弗雷格被看作是分析哲学的奠基人和数理逻辑的创始人,然而,他的毕生工作都致力于建立一种被称为逻辑主义的数学哲学。他在《算术基本规律》一书中给出了执行逻辑主义方案的形式系统。然而,由于罗素悖论的发现,很少有人关注弗雷格的《算术基本规律》。本文将主要介绍《算术基本规律》一书,包括其符号系统的说明,公理、规则、定义和定理的说明,罗素发现的悖论以及弗雷格的补救措施。