A perspective metric for visual slant and shape

Summary Linear retinal perspective as a cue for visual slant and shape is analyzed in terms of its geometrical and psychophysical properties. Geometrically, retinal perspective is defined as the visual-angle difference in the projective magnitudes of the near and far edges of slanted rectangles. The psychophysical effectiveness of retinal perspective is then determined in two experiments. In Experiment 1, the sensitivity of the eye to retinal perspective is shown to be inversely related to the visual-angle height of slanted rectangles which are rotated about a horizontal axis. In Experiment 2, the visual shape of monocularly observed slanted rectangles is shown to depend solely on a simple prediction derived from Weber's Law, in which it is assumed that perceived height is a linear function of visual-angle height.

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Zusammenfassung Die geometrischen und psychophysischen Eigenschaften der linearen retinalen Perspektive wurden analysiert, um festzustellen, welchen Einfluß die Perspektive auf gesehene Schräge und Form hat. Geometrisch wird die retinale Perspektive als die Sehwinkeldifferenz in der projektiven Größe der näheren und ferneren Kante schräger Rechtecke definiert. Die psychophysische Wirksamkeit der retinalen Perspektive wurde an Hand zweier Experimente gemessen. Im ersten wurde gezeigt, daß die Sensitivität des Auges für die retinale Perspektive eine negative Funktion der Sehwinkelhöhe schräger Rechtecke ist, wenn diese um eine waagerechte Achse gedreht sind. Im zweiten Experiment wurde festgestellt, daß die Sehform einäugig betrachteter schräger Rechtecke von einer einfachen Ableitung des Weberschen Gesetzes abhängig ist, in der angenommen wird, daß die wahrgenommene Körperhöhe des Rechteckes eine lineare Funktion der Sehwinkelhöhe des Retinabildes ist.

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These investigations were supported by research grants MH-08856 and MH-10,691 from the National Institute of Mental Health, United States Public Health Service. The advice of Robert Seibel in the calculations of the regression lines of Fig. 4, and the assistance of Robert Pasnak in the conduct of Experiment 2 are gratefully acknowledged. Technical assistance was rendered by J. L. Cohen, W. F. Garber, Martha Harsanyi, R. L. Kochman, S. Ludwig, and Judith Ann Muth.     

Intensität und Qualität in der Geruchswahrnehmung

Zusammenfassung Vier unterschiedliche Geruchsstoffe in je 4 Konzentrationen wurden von 23 Versuchspersonen nach Intensität beurteilt und paarweise auf ihre relative Ähnlichkeit hin verglichen. Eine Systematik der Versuchspersonenvarianz konnte weder in den Intensitäts- noch in den Ähnlichkeitsurteilen mit dem Tucker-Messick-Verfahren nachgewiesen werden. Mit den Medianwerten der Ähnlichkeitsurteile wurde das Skalierungsverfahren von Kruskal durchgeführt. Unter 25 Lösungen wurde diejenige mit einem Exponenten (Minkowski-Metrik) von r=2,5 und 5 Dimensionen als optimal ausgewählt und zur Grundlage der Interpretation genommen. Als wichtigstes Ergebnis erhielten wir eine unabhängige Intensitätsdimension mit Ursprung außerhalb der Reizkonfiguration, die eine hohe Übereinstimmung zur Intensitätsskalierung aufwies. Weiter konnte ein Qualitätswechsel jeweils innerhalb eines Stoffes zwischen den Konzentrationen festgestellt werden. Dieser Qualitätswechsel ist bei den einzelnen Stoffen unterschiedlich stark ausgeprägt.

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Quality and intensity in olfactory perception

Summary In an experiment on olfaction 23 subjects judged 16 odors (four chemicals each in four concentrations) with respect to intensity and with respect to similarity for each pair of stimuli. Systematic interindividual variation can he found neither in the intensity nor in the similarity data. Multidimensional scaling according to Kruskal's procedure reveals a configuration in 5 dimensions, the exponent of the optimal Minkowski-metric (out of 25 alternative solutions) is r=2.5. This scaling is based on the medians of similarity judgments. One of the dimensions corresponds to a subjective scale of intensity, with a zero-point lying outside of the configuration. The quality of the stimuli depends on their concentrations. The perceived quality-changes differ in amount and directions for each of the chemicals.

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Von der Philosophischen Fakultät der Universität des Saarlandes auf Antrag von Prof. Dr. K. Eyferth angenommene Dissertation.     

Der Einfluß der Reizverteilung auf die Strategienwahl beim Wahrscheinlichkeitslernen

Zusammenfassung Versuche zum Wahrscheinlichkeitslernen mit sechs Ereignissen wurden mit vier Gruppen von je 20 Vpn durchgeführt, um die Hypothese zu prüfen, daß auch bei mehr als zwei Ereignissen die Vpn die Wahrscheinlichkeiten der Vorgaben richtig schätzen können und daher in der Lage sind, eine optimale Strategie zu entwickeln und nicht die gemischte Strategie der Wahrscheinlichkeitsangleichung (probability-matching) bevorzugen. Im Gegensatz zu anderen Autoren hatten bereits Neimark und Shutord diese Hypothese in einem Versuch mit zwei Ereignissen bestätigen können. Bei mehr als zwei Ereignissen muß jedoch die unterschiedliche Informationsbedingung berücksichtigt werden, die eine sinngemäße Umwandlung des Vorhersageexperiments in ein Rateexperiment verlangte.In einem Planversuch wurden die Wahrscheinlichkeit des häufigsten Ereignisses mit p=0,33 und p=0,50 in Kombination mit der Struktur der Verteilung der restlichen Ereignisse (Gleichverteilung vs. abfallende Wahrscheinlichkeiten) variiert. Die Schätzungen der subjektiven Wahrscheinlichkeiten für die sechs Ereignisse weichen nicht von den objektiven Werten ab. Ferner ergeben die Analyse der Wahlen am Ende der Lernversuche sowie die Auswertung der durchschnittlichen Anzahl von Rateversuchen, daß in allen vier Gruppen die Versuchspersonen die optimale Strategie anstreben.

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Strategic behaviour in probability learning experiments with more than two choices

Summary Probability-matching in two-choice experiments has stimulated discussions about strategic behaviour of Ss'. Neimark and Shuford found that Ss in a two-choice situation estimated correctly the proportion of events to be predicted and did not use the suboptimal matching strategy. Does this finding generalize to situations with more than two choices ?A probability learning experiment with six events was conducted with 20 Ss in each of four groups. The usual prediction method had to be changed into a successive guessing method to secure the same information feedback on each trial as in the two-choice situation. A 2×2 design was used to vary the probability of the most frequent event at two levels (p=0.33 and p=0.50) and the distribution of the remaining events (equal proportions vs. decreasing proportions).Ss' estimates of subjective probabilities did not differ from objective probabilities. Analysis of Ss' choices in the final block of 30 trials and an analysis of variance on the number of guesses indicated that no probability-matching did occur. Ss used the optimal strategy instead but failed to do so consequently enough to reach optimum performance scores. The results show that even with more than two events Ss are able to learn the probability distribution and effectively try to adopt the optimal strategy if the situation is a well defined one.

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Die Versuche wurden im Rahmen eines Forschungsauftrags der Deutschen Forschungsgemeinschaft über Subjektive Wahrscheinlichkeit durchgeführt, der von Prof. Dr. Dr. Hans Anger und Prof. Dr. J. Pfanzagl betreut wurde.     

Preference for upright structure in memory-traces

Summary Rotation in reproduced drawings was investigated as a function of learning and prolonged forgetting (2 1/4 years). One hundred normal persons served as subjects. Using a control situation, a preference for rotating diagonal stimulus lines into upright positions was found. Rotation was most frequent at the first learning trial and disappeared gradually with practice. During forgetting rotation reappeared spontaneously and increased with time distance from learning. There was no significant correlation between rotation observed during learning and forgetting.

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Zusammenfassung In einem Gedächtnisexperiment wurden gezeichnete Reproduktionen auf Rotationseffekte untersucht, und zwar als Funktion des Lernens und prolongierten Vergessens (bis zu 2 1/4 Jahren). Einhundert normale Personen dienten als Versuchspersonen. Mit Hilfe einer Kontrollgruppe wurde eine ausgeprägte Tendenz einer Rotation diagonaler exponierter Reizlinien in aufrecht reproduzierte Linien gefunden. Die Häufigkeit dieser Rotation war bei der ersten Reproduktion am stärksten und verringerte sich zunehmend mit der Übung bis zu ihrer Auslöschung. Während des Vergessens trat der Rotationseffekt spontan wieder auf. Seine Häufigkeit erhöhte sich mit dem zeitlichen Abstand vom Lernexperiment. Es bestand keine bedeutsame Korrelation zwischen der Rotation während des Lernens und des Vergessens.

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The original experiments were conducted in the Institute of Psychology, University of Göttingen, which was then directed by Prof. Johannes von Allesch.     

Die „angenehmste Entfernung“ zur Betrachtung sozialer Objekte

Zusammenfassung 3 Experimente wurden durchgeführt, in denen die Versuchspersonen (39 Studenten) aufgefordert wurden, die ihnen am angenehmsten erscheinende Entfernung zu verschiedenen Reizobjekten zu wählen. Es zeigte sich, daß die Versuchspersonen näher an Personen als an Fotografien von Personen oder Gegenständen herangingen. Männliche Versuchspersonen gingen näher an weibliche als an männliche Reizpersonen heran. Es bestand außerdem die Tendenz einer größeren Annäherung an Personen, wenn diese die Versuchsperson anblickten. Die angenehmste Entfernung war individuell verschieden und über mehrere Wochen stabil. Sie war außerdem vom räumlichen Bezugssystem abhängig; in diesem Zusammenhang konnte die Ausbildung von Einstellungen gezeigt werden. Die Ergebnisse wurden im Hinblick auf ein Gleichgewichtsmodell sozialer Kräfte von Argyle u. Dean diskutiert.

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The most comfortable distance for observing social objects

Summary Three experiments were conducted in which subjects (39 students) were to choose the distance from various stimulus objects which appeared most comfortable to them. It was shown that subjects approached actual persons more closely than they did photographs of persons or objects. Male subjects approached female stimulus objects more closely than they did males. There was a tendency of greater approach if the stimulus persons gazed at the subjects. The most comfortable distance was specific for the individual and remained stable over a period of several weeks. It also depended upon the spatial frame of reference; in this connection the development of sets could be shown. The results were discussed in relation to a model for the equilibrium of social forces from Argyle and Dean.

     

Figurale Nachwirkungen

Summary The Review attempts to survey the existing literature on the figural after-effects. The main body of the Review is devided into two major parts, one dealing with the empirically observed data on the figural after-effects, and the other with the explanations put forward to explain the occurrence of these effects. Besides, there is a short introduction at the beginning, concluding remarks at the end, and a comprehensive bibliography.

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Dieser Sammelbericht entstand unter Mitarbeit von Frau Dipl.-Psych. Donja Malhotra.

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Zu Dank verpflichtet ist der Verf. Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. Wolfgang Metzger für die kritische Durchsicht des Manuskripts, sowie Herrn Dipl.-Psych. Heiner Erke für die Unterstützung bei der Vorbereitung des Manuskripts zum Druck.     

Untersuchungen und Überlegungen zur Richtungswahrnehmung bei willkürlichen sakkadischen Augenbewegungen

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit hatte das Ziel, die Umstimmung der retinalen Raumwerte während willkürlicher horizontaler Blicksprünge (Sakkaden) zu untersuchen.Die Methodik bestand darin, während oder nach der Augenbewegung kurzzeitig einen ca. 1° großen Lichtreiz (Elektronenblitz) im Gesichtsfeld der Vp zu exponieren, den diese in bezug auf eine kopffeste Skala zu lokalisieren hatte. Die Auslösung des Lichtreizes erfolgte auf elektrookulographischem Weg durch die Augenbewegung selbst.Bei diesen Versuchen traten in systematischer Abhängigkeit vom retinalen Ort des Reizes und von der zwischen Sakkadenbeginn und Reizexposition verstrichenen Zeit deutliche Verlagerungstäuschungen auf. Sie lassen sich am besten interpretieren, wenn man die Umwertungsprozesse als Wanderung eines lokalisatorischen Bezugssystems über ein zentralnervöses Projektionsfeld der Retina auffaßt. Diese Wanderung wird eingeleitet und angeführt durch ein rasches Einschwingen der Koordinate des Zielpunktes der Blickbewegung in die Fovea; in der zielabgekehrten Netzhauptperipherie vollzieht sich die Umwertung wesentlich langsamer. Dabei kann es vorübergehend zu topologischen Veränderungen des Bezugssystems kommen, deren Genese noch unklar ist.Ausgehend von den bislang vorliegenden Ansätzen zur Erklärung der Richtungskonstanz (insbesondere vom Reafferenzprinzip, den Aufmerksamkeitstheorien und der Theorie MacKays) wird ein eigenes Modell entwickelt, in dessen Rahmen die Versuchsergebnisse diskutiert werden.

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Investigations and considerations of directional perception during voluntary saccadic eye movements

Summary This investigation attempts to examine the change of retinal local signs during voluntary horizontal saccadic eye movements. The method used was to expose the S. to a short light stimulus (electronic flash) of approximately one degree angular width during or after a 16 degree eye movement. The stimulus was released by the eye movement itself via the retino-corneal potential. The S.'s task was to localize the stimulus on a fixed luminous scale.Clear translatory illusions occurred in these experiments. They depended systematically on the spot on the retina stimulated, and on the time elapsed between the onset of the saccade and the release of the stimulus. These illusions are best interpreted as due to the shift of a coordinate system across the retinal field. The shift is initiated by the coordinate of the retinal spot on which the target of the eye movement was projected before the saccade began. This coordinate rapidly swings into the fovea. The processes on the retinal hemisphere opposite to the target occur at a much slower rate. Moreover, temporary changes of the topology of the coordinate system may take place during the saccade. Their origin is still unclear.The results of the experiments are discussed in terms of a special model based on the previous explanations of the phenomenon of directional constancy (especially the reafference principle, the attention theories, and MacKays theory).

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Diese Arbeit wurde mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft ausgeführt. Wir danken unseren Versuchspersonen für ihre ausdauernde Mitarbeit sowie Frau Dipl.-Psych. Doris Bischof, Herrn Peter Heinecke und Frau Dr. Maria V. Schaetz für ihre Hilfe bei der Durchführung und Auswertung der Versuche.     

Contrasting visuomotor functions of tectum and cortex in the golden hamster

Summary Visually-guided orientation (spatial localization) and visual discrimination were dissociated by means of brain lesions in the golden hamster. After ablation of visual cortex, hamsters failed to discriminate visual patterns, but showed nearly normal ability to localize an object in space by means of vision. Ablation of the superior colliculus produced opposite effects: these animals were completely unable to orient to the position of a visual stimulus, but nevertheless showed excellent pattern discrimination.

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Zusammenfassung Visuell gesteuerte Orientierung (räumliche Lokalisation) und visuelles Unterscheidungsvermögen beim Goldhamster werden durch Hirnläsionen funktionell getrennt. Nach Entfernung der Sehrinde können die Tiere keine visuellen Musterunterscheidungen, wohl aber noch in fast normaler Weise visuelle Objektlokalisationen vornehmen. Entfernung des Colliculus superior führt zu entgegengesetzten Effekten: die Tiere können sich nicht mehr nach der Position eines visuellen Reizes orientieren, zeigen aber trotzdem ausgezeichnete Musterunterscheidung.

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During the period of the reported research, the author was supported by a U.S. Public Health Service predoctoral fellowship. Additional support was received from the National Institute of General Medical Sciences under their Training Grant STl GM 1064-04 BHS.For a more detailed report of this work, and reports of further experiments, see Schneider (1966).     

Coherence and Nonmonotonicity in Human Reasoning

Nonmonotonic reasoning is often claimed to mimic human common sense reasoning. Only a few studies, though, have investigated this claim empirically. We report four experiments which investigate three rules of SYSTEMP, namely the AND, the LEFT LOGICAL EQUIVALENCE, and the OR rule. The actual inferences of the subjects are compared with the coherent normative upper and lower probability bounds derived from a non-infinitesimal probability semantics of SYSTEM P. We found a relatively good agreement of human reasoning and principles of nonmonotonic reasoning. Contrary to the results reported in the ‘heuristics and biases’ tradition, the subjects committed relatively few upper bound violations (conjunction fallacies).     

Ein differentialmethodischer Versuch zum Intelligenzproblem

Ohne ZusammenfassungDie Arbeit hätte nicht durchgeführt werden können ohne Hilfe durch andere: die Deutsche Forschungsgemeinschaft gewährte den wesentlichen Anteil an finanzieller Unterstützung. Frau Dipl.-Psych. Helga Biermann und Fräulein Dipl.Psych. Helga Böttcher haben sich als wissenschaftliche Mitarbeiterinnen bei der Planung, Durchführung und Auswertung der Versuche sehr verdient gemacht. Bei der Datenaufbereitung waren unermüdlich und zuverlässig tätig: Fräulein Gabriele Block, Fräulein Jutta von Hatzfeld, Fräulein Ursula Siry, Fräulein Elsbe Ziessler und Herr Theo Mooren. Bei der Datenanalyse am Institut für angewandte Physik an der Universität Münster hat Herr Dipl.-Psych. Dieter Langheinrich mit manch schnellem Rat und mit noch schnelleren Rechenprogrammen ausgeholfen. Allen sei herzlich gedankt.     

Mou Zongsan and Tang Junyi on Zhang Zai��s and Wang Fuzhi��s Philosophies of Qi: A Critical Reflection

As the founders of Contemporary Neo-Confucianism, Mou Zongsan and Tang Junyi developed different interpretations of Zhang Zai’s and Wang Fuzhi’s philosophies of qi. In this essay, both the strength and weakness of their interpretations will be critically examined. As a contrast, an alternative interpretation of the School of qi in Song-Ming Neo-Confucianism will be outlined. This new interpretation will uncover that, like Leibniz, Zhang Zai and Wang Fuzhi introduced a non-substantivalist approach in natural philosophy in terms of an innovative concept of force. This interpretation not only helps to show the limitations of Mou Zongsan’s and Tang Junyi’s understandings of Zhang Zai’s and Wang Fuzhi’s doctrines of qi, but also indicates a way to bridge the traditional Chinese philosophy of nature and modern physics. More generally, our critical discussions will bring to light a new angle with which to re-appreciate Mou Zongsan’s and Tang Junyi’s contributions to the development of Confucianism.     

Multi-Modal CTL: Completeness,Complexity, and an Application

We define a multi-modal version of Computation Tree Logic (ctl) by extending the language with path quantifiers E ^δ and A ^δ where δ denotes one of finitely many dimensions, interpreted over Kripke structures with one total relation for each dimension. As expected, the logic is axiomatised by taking a copy of a ctl axiomatisation for each dimension. Completeness is proved by employing the completeness result for ctl to obtain a model along each dimension in turn. We also show that the logic is decidable and that its satisfiability problem is no harder than the corresponding problem for ctl. We then demonstrate how Normative Systems can be conceived as a natural interpretation of such a multi-dimensional ctl logic. Presented by Jacek Malinowski     

A framework for the transfer of proofs,lemmas and strategies from classical to non classical logics

There exist valuable methods for theorem proving in non classical logics based on translation from these logics into first-order classical logic (abbreviated henceforth FOL). The key notion in these approaches istranslation from aSource Logic (henceforth abbreviated SL) to aTarget Logic (henceforth abbreviated TL). These methods are concerned with the problem offinding a proof in TL by translating a formula in SL, but they do not address the very important problem ofpresenting proofs in SL via a backward translation. We propose a framework for presenting proofs in SL based on a partial backward translation of proofs obtained in a familiar TL: Order-Sorted Predicate Logic. The proposed backward translation transfers some formulasF _TL belonging to the proof in TL into formulasF _SL , such that the formulasF _SL either (a) belong to a corresponding deduction in SL (in the best case) or, (b) are semantically related in some precise way, to formulas in the corresponding deduction in SL (in the worst case). The formulasF _TL andF _SL can obviously be considered aslemmas of their respective proofs. Therefore the transfer of lemmas of TL gives at least a skeleton of the corresponding proof in SL. Since the formulas of a proof keep trace of the strategy used to obtain the proof, clearly the framework can also help in solving another fundamental and difficult problem:the transfer of strategies from classical to non classical logics. We show how to apply the proposed framework, at least to S5, S4(p), K, T, K4. Two conjectures are stated and we propose sufficient (and in general satisfactory) conditions in order to obtain formulas in the proof in SL. Two particular cases of the conjectures are proved to be theorems. Three examples are treated in full detail. The main lines of future research are given.     

Sensing Aliveness

This study examines whether the categories animate/inanimate might be formed on the basis of information available to the cognitive system. We suggest that the discrimination of percepts according to these categories relies on proprioceptive information, which allows the perceiving subject to know that he is ‘animate’. Since other ‘objects’ in the world exhibit movements, reactions, etc. similar to those that the subject experiences himself, he can ‘project’ his knowledge onto these objects and recognize them as ‘animate’ like himself. On this basis we try to corroborate the empricist position in the debate concerning the organization of knowledge as opposed to the nativist view. Furthermore, we argue that the categorical dichotomy animate/inanimate is more basic than other analogous ones such as living/non-living, biological/non-biological and we sketch a ‘categorical stratification’ following the line ‘humans–animals–plants’ based on the hypothesis that humans detect different degrees of ‘vitality’ according to the degree of similarity they recognise between the considered instance and themselves.     

Processing complex graphemes in handwriting production

Recent studies on handwriting production and neuropsychological data have suggested that orthographic representations are multilevel structures that encode information on letter identity and order, but also on intermediate-grained processing units such as syllables and morphemes. This study on handwriting production examined whether orthographic representations also include a graphemic-processing level. French adults wrote words containing an embedded one-, two-, or three-letter grapheme (e.g., a in clavier, ai in prairie, ain in plainte) on a digitizer. The results for letter duration revealed that the timing of movement processing depends on grapheme length (e.g., the duration of a for one-letter graphemes was shorter than that for two-letter graphemes, which, in turn, was shorter than that for three-letter graphemes). Two- and three-letter graphemes start to be processed before we start to write them. The results therefore revealed that orthographic representations also encode information on grapheme complexity.     

Einfluß der Leistungsmotivation auf das Behalten von Erfolgs- und Mißerfolgswörtern

Ohne ZusammenfassungHerrn Prof. Dr. Heckhausen und Herrn Prof. Dr. Dr. Metzger danke ich für Hinweise bei der Abfassung des Manuskripts.     

Experimentelle Untersuchung der sog. induzierten Bewegung

Ohne ZusammenfassungDie Versuche wurden durchgeführt von Dezember 1948 bis Februar 1949. Herrn Prof. Dr. F. J. J. Buytendijk danke ich für die Anregung zu dieser Arbeit. Herrn Dr. jur. D. Köllen und Frau M. M. I. Köllen (Bilthoven) bin ich zu großem Dank verpflichtet für die freundliche Bereitschaft, das deutsche Manuskript durchzusehen.     

Musical Naturalism in the Thought of JI Kang

Wei-Jin period is characterized by neo-Daoism (xuanxue 玄學), and JI Kang lived in the midst of this philosophical exploration. Adopting the naturalism of the Zhuangzi, Ji Kang expressed his socio-political concerns through the medium of music, which was previously regarded as having moral bearing and rectitude. Denying such rectitude became central for Ji Kang, who claimed that music was incapable of possessing human emotion, releasing it from the chains of Confucian ritualism. His investigation into the name and reality of musical expression gave music an “aesthetic turn” lacking in Qin and early Han thought, and by making use of concepts such as natural harmony and spontaneity, Ji Kang was able to turn away from the negative aesthetics of earlier thinkers such as He Yan and Wang Bi to one cherishing the naturalism espoused by Zhuangzi.     

Special Topic: Filial Piety: The Root of Morality or the Source of Corruption?

In recent years, Liu Qingping 劉清平 has published a series of articles criticizing Confucian ethics in its modern context (see various articles by Liu), which has drawn the attention of many scholars. My friends and I have debated with him and his allies on this issue (See Guo 2002, Yang Haiwen 2002, Yang Zebo 2003, 2004a, 2004b, Ding 2003, 2005a, 2005b, Gong 2004, Guo and Gong 2004, and Wen 2005). Most of the important articles in the debate are now collected in a volume I edited, A Collection of Contentions about Confucian Ethics: Focusing on the Mutual Concealment among Family Members (Guo 2005 [ed.]). In the following, I attempt to respond to some of Liu’s criticisms of Confucian ethics.     

A Duality for the Algebras of a Łukasiewicz <Emphasis Type="Italic">n</Emphasis> + 1-valued Modal System

In this paper, we develop a duality for the varieties of a Łukasiewicz n + 1-valued modal system. This duality is an extension of Stone duality for modal algebras. Some logical consequences (such as completeness results, correspondence theory...) are then derived and we propose some ideas for future research. Presented by Daniele Mundici