论集合论的模型

本文讨论了ZF的经典模型和非经典模型,梳理了它们的最新动态,并且将ZF的广义代数值模型推广到基于形式不一致逻辑的弗协调集合论。该推广过程的关键在于解决两个问题:第一,这类弗协调集合论是否包含不是一致的集合;第二,在模型中如何处理相等关系=,以便它能够满足莱布尼兹公理。此外,本文构造的广义代数值模型具有一定的可推广性。     

辩证法和集合论的悖论

不久前,人们在分析辩证矛盾时,实际上并没有利用集合论的悖论。“除了逻辑学家和数学家看到的之外,到处都有违反亚里士多德的矛盾(不矛盾)律的情形。”目前,在我国的文献中正在形成一种用唯物主义辩证法的手段来研究集合论悖论的传统。我们把集合论的悖论,其中包括罗素悖论,作为辩证矛盾的局部情况、具体例子来加以     

现代西方悖论研究

为了实现把数学还原为逻辑这一逻辑主义的基本纲领,弗雷格发明了一种表意文字,并用这种文字建立了一个表达逻辑规律和推理规律的初步自足的公理系统和一个高阶的逻辑系统,借助于这两个公理系统、他用一些基本的逻辑概念严格定义了自然数,并且建立了自然数的基本性质。然而就在他的工作即将完成之际,英国逻辑学家罗素却发现,在弗雷格的公理系统中,依靠“概括原则”可以推出“不属于自身的集合的集合”的悖论。这就是著名的罗素悖论。其实“罗素悖论”并不是首次在数学中发现的悖论。早在1895年弗雷格就在自己的集合论中发现了一个悖论。1899年康托也发现了一个更简单、更基本的集合论悖论,即著名的“康托悖论”。在此之后,人们又发现了一些其他悖论。随着越来越多的悖论的发现,兴起     

悖论研究在科学方法论中的地位和作用

自伯特兰·罗素等人在素朴集合论中发现悖论以来,悖论研究一直是数学哲学和逻辑哲学的重要课题,甚至是其一定时期的核心课题。然而,以研究科学方法论为核心内容的科学哲学,却一直未能给予悖论研究以足够的重视。本文试图说明,悖论研究在科学方法论中有着重要的地位和作用,应成为科学哲学研究的重要内容。     

悖论,类型论以及解救悖论的其它方法(续)

罗素的观点看来是主张,类型论提供了避免一切悖论的方法,此外类型论在本质上还是这种方法的理论基础。让我们依次来考虑这两点。晚近的作者在所谓“语义悖论”和集合论悖论之间作出了区分,而罗素没有这样做。埃匹曼尼德悖论被称为语义悖论,因为它在本质上涉及到真的概念(谎话是不真的);并且“真”被称作一种语义关系,因为它是     

循环并不可恶--《恶性循环:非良基现象的数学》评介

上世纪初,罗素悖论和其他几个集合论悖论的出现引起了许多著名数学家的震惊。为了排除悖论,集合论学者们借助公理方法对康托尔的理论和方法进行了系统整理,建立起了多种严谨的集合论体系,当今应用广泛的ZF集合论就是其中最为著名的一种。直观上集合与类不分,一个性质决定一个类,ZF集合论不能承诺所有这些类都是集合,它用基础公理FA来保证所承诺的集合都是良基的。说一个类X为良基的,是指不能有一个由类组成的无穷序列X1、X2、…、Xn、… (不一定都不相同 )使得…∈Xn∈…∈X2∈X1∈X成立。这样的无穷序列被称为从X开始的一条无穷∈降…     

两类有代表性的悖论——悖论漫谈之二

悖论从形态上可分为两类,即逻辑悖论与语义悖论。罗素不赞成把悖论划分为两类,因为他认为所有悖论的产生都是同一种错误的结果,即都是由于违反“恶性循环原则”(一个“集合”自身必不是这个“集合”的元素)而造成的。他的观点不是没有道理的,从悖论的特征及其形成的深层原因看,确实这种划分并不重要。但是这种划分又是可能的;逻辑悖论导致了集合论的发展,而语义悖论则导致了语义学的发展。     

“阿基里斯追龟”辨析

疑难推理中,最引人注目的是悖论。自从1901年罗素从弗雷格的《数学基础》中举出了有名的罗素悖论之后,八十年来,悖论已成为数学、哲学、逻辑、语言的重大研究课题。但是悖论的雏形古已有之。著名的芝诺四悖论就是。长期以来,人们很少从逻辑上考察芝诺悖论究竟“障”在哪里,有的人甚至把芝诺的四悖论当作无聊的诡辩而加以嘲笑,这是不足取的。本文从逻辑上为芝诺悖论做一点辩诬工作,以发掘其中的积极因素。     

探索者足迹的透视与反思——《科学的难题——悖论》评介

最近,浙江科学技术出版社出版了《认知与方法》丛书,以系列著作研讨科学探索活动中具有普遍意义又较为深奥的哲理性问题,张建军同志所著《科学的难题——悖论》一书,便是其中之一部。 19与20世纪之交,罗素等人在朴素集合论中发现了悖论。从那时起,悖论一直作为一个重要的科学难题,为学术界所瞩目。然而迄今为止,     

罗素悖论的预言者——施罗德与策梅罗

罗素悖论是逻辑学中极为重要的一个悖论,它对现代逻辑的推进和完善起到了关键的作用.但学界对罗素悖论提出的背景和逻辑学界的研究状况了解不多.在罗素悖论提出之前,逻辑学家施罗德、策梅罗等就已经展开了对罗素悖论及类型理论雏形的讨论.不少逻辑学家和哲学家,如弗雷格、罗素、胡塞尔和维纳等都对这两人的贡献进行了评价与分析.     

回避盲区

英国哲学家、数学家罗素曾提出一个著名的集合论悖论,即"理发师悖论"。说在英国的萨尔维村一家新开的理发店挂出一块招牌:只给村里所有不能给自己理发的人理发。有人将了理发师一军:"那你给不给自己理发?"这一问题让理发师无言以对。如果他不给自己理发,那他就属于招牌上所限定的那类人,所以,他就应给自己理发;反之,如果他     

罗素的“悖论”

英国现代数理学家、哲学家罗素,是数学中逻辑主义学派的代表人物。1903年他提出了著名的“悖论”,导致了“集合论”理论的发展。　　所谓悖论,是从一些貌似正确的或看来可接受的约定出发,经过简明正确的推理,却得到自相矛盾的结论。例如,对一个命题,如果假定它为真,经过无懈可击的推理,却推出它为假;但假定它为假,又能推出它为真。这样的命题就是一个悖论。　　下面是罗素提出的一个命题：　　某理发师规定：他只给那些自己不给自己刮脸的人刮脸。这个理发师该不该给自己刮脸呢？　　很显然,如果这个理发师给自己刮脸,那么按规…     

面向认知冲突的弗协调置信逻辑

若限制一般意义的矛盾律,就会得到一种非亚氏(non-Aristotelian)逻辑,即弗协调(paraconsistent)逻辑。以弗协调逻辑系统C1为基础,对之进行语法和语义扩张,即可得到弗协调置信逻辑系统C1D。这种特殊的认知逻辑可以容忍认知冲突,若以之为基础逻辑,知识或信念的暂时不协调将不会导致逻辑上的无意义(不足道)。基于该系统的特异逻辑性质,相信一个陈述及其否定在逻辑上将变得并非不可能。该系统作为处理悖论的容悖路径,尽管在实质上没有排除掉悖论,但在那些认知悖论彻底解决之前,却可为理性认知提供一个可靠的逻辑基础。     

罗素的逻辑主义及其在数理逻辑史上的地位

20世纪初,在逻辑和数学中发现了许多悖论,包括罗素本人所发现的悖论(后被称为罗素悖论)。这些悖论动摇了数学的基础,史称第三次数学危机。为了解决这一次数学危机,罗素提出了逻辑主义的纲领,并得到一些著名的逻辑学家的支持,成为数理逻辑中的三大学派之一。本文旨在对罗素的逻辑主义作出全面的科学的评述。一、数学概念和数学定理的推导罗素的逻辑主义包含两个部分:(1)数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来;(2)数学定理可以通过纯逻辑推演(即一阶逻辑演算)由逻辑公理推导出来。罗素所使用的逻辑概念有:命题联结词(否定,析取,合取,蕴涵)…     

罗素的替代理论

在1903年到1908年间,罗素提出、发展并最终放弃了一种悖论解答方案——替代理论。罗素从摹状词理论中得到启示:悖论源自虚假抽象。替代理论的基本概念"替代"可以避免虚假抽象,通过使用替代运算来定义类和自然数,替代理论在一定程度上获得了成功。然而替代悖论的发现促使罗素最终放弃了替代理论,并走向了分支类型论。     

语义悖论研究的新思路——情境语义学解悖方案探析

一、已有解悖方案的思路及不足自古老的说谎者悖论提出后,两千年来有关悖论的研究文献可谓汗牛充栋。特别是20世纪以来,罗素、塔尔斯基、克里普克等对悖论问题的关注,更进一步深化了人们的认识。但众所周知,无论罗素的类型论方案、塔尔斯基的语言层次理论,还是克里普克的真值间隙论方案,均没能合理地解决悖论问题。罗素的类型论方案试图通过对“自指”的限定来消解说谎者悖论,被认为是“用大炮打苍蝇,苍蝇虽然死了,但毁灭的东西也太多”!塔尔斯基试图通过给语言分层的方法来解决说谎者悖论,但“特设性”的指责却无法逃避。克里普克的方案最…     

说谎者悖论的恶性循环

一、引论承袭彭加勒的思想,罗素提出:“所有的悖论都源自于这样的事实,指称某个类的整体的表达式自身又表示这个类中某个元素。”(Russell,p.101)这便是被后人称为悖论根源于“循环”的思想。这一思想对悖论———尤其是语义悖论———后来的研究产生了重要影响:在诸多处理语义     

正规模态集合论悖论及相关问题

"正规模态集合论悖论"产生于带等词一阶逻辑、公理集合论和正规模态逻辑的"自然结合"。正规模态命题逻辑如同一根"魔杖",一旦将之引入经典集合论,即把本来可以容纳偶然关系的集合论,变为断言"所有关系皆必然"的宿命论理论。这个悖论的揭示与澄清,可以清晰说明区分"实体-实体关联"与"实体-属性关联"及引入"广义逻辑真理"概念的必要性与重要性,并有助于认识与解决一系列模态哲学疑难问题。     

另一种集合论悖论WSP——《逻辑哲学论》之世界-语言悖论

世界和语言究竟孰大孰小?在维特根斯坦《逻辑哲学论》中其实藏匿着另一种新的可能的集合论悖论:A.世界和语言基数相等;B.世界和语言基数不等(世界之势大于语言之势)。笔者将此矛盾命名为世界一语言悖论(WSP)。WSP能否完满解决,关乎该书语言图像论之成败。本文采用康托尔素朴集合论和ZFC等技术资源,在描述WSP之后,比较了两种有效的WSP化解方案:A.借助"无穷"的数学方案;B.借助"事实即命题"的哲学方案。     

弗雷格的《算术基本规律》

弗雷格被看作是分析哲学的奠基人和数理逻辑的创始人,然而,他的毕生工作都致力于建立一种被称为逻辑主义的数学哲学。他在《算术基本规律》一书中给出了执行逻辑主义方案的形式系统。然而,由于罗素悖论的发现,很少有人关注弗雷格的《算术基本规律》。本文将主要介绍《算术基本规律》一书,包括其符号系统的说明,公理、规则、定义和定理的说明,罗素发现的悖论以及弗雷格的补救措施。