甘岑的自然演绎演算

迄今为止,我们所主要讨论的逻辑演算,即用公理方法处理的狭谓词演算,标志着把数学方法运用于逻辑获得了显著的成功。这种演算的形式上的简易是令人称道的,从纯粹数学的观点看,它可以同公理化的射影几何及抽象群论这一类数学观念的完满体现的学科相媲美。此外,作为应用于研究演绎系     

休谟原则与弗雷格定理

弗雷格《算术的基本规律》中二阶逻辑理论FL是不一致的,在语法上可以推演出罗素悖论,在语义上,矛盾于康托尔定理,进而是不可满足的。通过仔细考察弗雷格的逻辑系统FL、FL的子系统FA以及算术还原为逻辑的推理过程,可以看出弗雷格在用公理五与概念的数的显定义推演出休谟原则后,不再实质依赖于公理五与概念的数的显定义。休谟原则与带完整二阶存在概括规则的二阶逻辑组成的系统FA是一致的,并且足以推出戴德金皮亚诺系统的五条公理,这实质上给出了不同于皮亚诺公理系统的另外一种算术公理化系统。根据自然数的定义,弗雷格实质上利用数学归纳法证明了每个自然数都有后继存在,加上后继的唯一性,弗雷格就保证了无穷多的自然数的存在。     

公理化真与说谎者悖论

公理化真理论把真看作一个原始谓词,并用一组公理和规则给出真谓词的意义,真首先是语形概念。在公理化真理论的标准模型中,一个定理可解释为真。因此模型真和语形真在概念上需要作出区分。通过不同的技术手段大部分公理化真理论都能较好地处理悖论,但DT和KF系统同时证明"说谎者语句λ"与"λ不是真的",此时语形真和模型真产生了冲突。莫德林和费弗曼等国外学者从哲学解释或技术上对此进行的辩护都存在不足之处,本文通过从语义视角入手建立起一种真对应关系后指出,这一受到质疑的结论既不应归结为形式技术问题,不是一个意外的推论,也不必从其他哲学角度进行辩护,问题是由克里普克语义真理论自身在处理强化说谎者悖论时失效所导致的。KF系统两种真的冲突,反而以形式方法揭示了当内、外逻辑不一致时,真理论所具有的性质。     

柏拉图主义与集合论终极宇宙

假设V=终极L,则连续统假设为真,并且所有关于集合论的独立性问题都可以还原为有关更大无穷的公理,它还为集合论提供了一个对科恩力破免疫的公理化基础。在这个意义上,这将是哥德尔纲领的一个实现。更进一步,如果V=终极L是真的,那么就存在一个独特的集合论模型,从某种意义上说它就是真实的集合宇宙。这一事实本身说明集合的宇宙是一个确定的客观实在,可以看作是支持柏拉图主义的证据。     

爱因斯坦的公理学思想

一爱因斯坦的科学方法与公理学爱因斯坦通晓许多科学方法,更善于创造性地综合运用各种方法。通观爱因斯坦科学探索的一生,他获益最多的是以演绎为基础的公理化方法。用公理化方法建立科学的理论体系,是爱因斯坦极为重视的一种科学方法。在爱因斯坦看来,没有一种归纳方法能够导致物理     

论基础公理与反基础公理

"循环并不可恶"。本文在此基础上讨论基础公理和反基础公理。首先指出基础公理原本就是一条有争议的公理;第二,说明基础公理的局限性;第三,详细论述反基础公理家族中的三个成员,并给出它们两两不相容的一个证明;第四,分析反基础公理导致集合论域在V=WF上不断扩张的方法,并指出这种扩张的方法与数系扩张的方法相同;最后结论:良基集合理论(ZFC)与非良基集合理论(ZFC~-+AFA(或者ZFC和ZFC~-+FAFA或者ZFC和ZFC~-+SAFA))之间的关系类似于欧几里得几何学与非欧几何学之间的关系。     

经验科学的公理化初探

一公理化方法是演绎科学(逻辑和数学)的科学方法,但其精神实质早已渗透到经验科学。现代经验科学日益远离其经验基础,正在逐步向着高度抽象和统一的方面发展,公理化方法向现代经验科学渗透的深度和广度也在日益增加,值得引起我们的重视。     

基于证据支持度的信念逻辑研究

一个智能主体对某一信息的相信及相信程度分别与证据和证据支持度密切相关。本文试图通过模态逻辑方法,从语义及公理化角度探究证据支持度和信念强度之间的联系。在文中,分别用KD45和KD正规模态表达强信念算子和带程度的信念算子,用带程度的模态算子表达含程度的证据,通过在模型上加约束条件的方式将证据关系和信念关系联系起来,表达出了证据支持度和信念强度之间的联系,并建立了一个可靠且完全的公理系统。这实现了证据支持度和信念强度联系的形式化研究,为处理不确定信息提供了定性和定量相结合的分析方法。     

推荐五本世界公认的逻辑学著作

(1) G·Takeuti和W.M.Zaring的《公理化集合论导引》第2版(Introduction to Axiomatic Set Theory [2nd ed]),本书以Zermelo-Fraenke的理论为线索全面介绍公理化集合的Godel和Cohen相容性和独立性理论,用这种论述方式介绍,读者能较容易地掌握公理化集合论的基本理论以及其他相关结果,并进入到80年代的许多新的前沿课题。本书1971年初版,1982年第2版对初版作了全面刷新,增添了许多新内容,如Silver机、证明可构造性公理化相容性的结构设计等。本书可作为数理逻辑专业研究生一个学期集合论课程的标准教材。 (2) G·Takeuti和W.M.Zaring的《公理化集合论》(Axiomatic Set Theory)。本书是《公理化集合论导引》一     

弗雷格与希尔伯特的几何学基础之争——兼论胡塞尔对几何学起源的分析

在读到希尔伯特的《几何基础》第一版以后,弗雷格与希尔伯特展开了几轮通信,表达了自己对公理化方法的三项质疑。希尔伯特在回信中解释了自己的立场,并强调了公理化方法的全新视角以及它与19世纪数学哲学的根本差异。与此同时,胡塞尔也在发展出现象学的过程中获得了系统的数学哲学观念,这种思想最终表现在《逻辑研究》第一卷及随后的著作里。胡塞尔对几何学的哲学基础和公理化方法的看法虽然总体上倾向于希尔伯特,但亦批判其对形式的片面强调。本文首先考察弗雷格与希尔伯特的争论,随后从现象学角度回顾这场争论,探讨公理化思想的哲学意义。     

卢卡西维茨对逻辑的贡献

波兰逻辑发展的最近一个时期的杰出人物是卢卡西维茨,他是特瓦多斯基的学生,后来继承和发展了皮尔士、耶芳斯(Jevons)、施罗德(Schr(?)der)、弗雷格、罗素和怀特海,维拉蒂(Vailati)、库蒂拉(Couturat)和西欧其他逻辑泰斗的成就。他首先研究、思考的是什么?他发现了什么?解释了什么?把所有这些问题归为一点,我们可以回答说,卢卡西维茨创造了一个可以进行命题演算的完整的公理系统系列;他第一个建立了多值逻辑系统;他把亚里士多德的三段论公理化;他证明了亚里士多德的三段论与斯多葛派的逻辑之间的真正关系;他     

纯粹逻辑的贝叶斯主义及其哲学效应

"纯粹逻辑的贝叶斯主义",是C.豪森近年来发展出的一个研究纲领。他认为概率演算的布德诺.德.菲耐蒂公理化系统是纯粹逻辑的,而包含可列可加性的公理系统则破坏了逻辑一致性原则。基于"方程可解性"概念所建立的形式类比展示了概率一致性和演绎一致性之间的平行关系。这一纲领对逻辑全能问题、休谟问题以及条件化规则的合理性问题都提出了独到而统合的解决。然而,该纲领仍面临着"杜宾(Dubin)问题"的挑战,同时也回避了一些像简单性和真理的关系这样有意义的哲学问题的探讨。     

从逻辑哲学看模糊逻辑的形式化

从逻辑哲学观点看,在“符号化、公理化的模糊逻辑”与非形式化的“人脑使用的模糊逻辑”（苗东升的说法）这两者之间,只是形式模型及其现实原型的关系,决不相互排斥。真正的问题不在于,在现实生活中人脑所使用的实际上行之有效的模糊推理,是否应该和可能符号化、公理化,而是在于如何恰当地进行形式化。笔者采用苏珊·哈克（Susan Haack）的逻辑哲学观点,认为非经典逻辑可划分为扩展逻辑和异常（deviation）逻辑,模糊逻辑归属于异常逻辑。本文以模糊逻辑系统FZ为例,具体分析了虽然经典逻辑中一些较强的公理和推理规则均不成立,但是与之对应的较弱的“合经典的”（well-behaved）公理和推理规则却仍然可以成立,由此导致一系列新奇性质。笔者采用了达·柯斯塔（da Costa）的形式化技巧,它是关于“在虚设不矛盾律成立的前提下”（相应公式可以称为“合经典的”）才能成立的逆否律。当我们撤除了“虚设不矛盾律为前提”的限定,它又重新回到了无条件成立的情况。笔者也推广了玻尔（N.Bohr）和冯·威扎克（von Weizsaecker）关于对应原理的思想,认为作为非经典逻辑的模糊逻辑与经典逻辑之间也应当遵守“对应原理”：经典逻辑是模糊逻辑的前身,模糊逻辑将构成更为普遍的逻辑形式,经典逻辑作为模糊逻辑的极限形式,在局部情况下还保持自身的意义。     

模态逻辑GL的基于广义谢弗竖的分析性模态公理系统（英文）

基于广义谢弗竖这种新算子,本文构造了模态逻辑GL的模态表列和分析性模态公理系统。广义谢弗竖是一种n元算子,为模态逻辑的表达式提供一种新记法,使分析性模态公理系统的陈述直接明了。由于谢弗竖是一种新算子,基于它的模态表列规则与通常的基于模态词和联结词的表列规则有所不同。分析性模态公理系统中的内定理证明很简单。因为分析性模态公理系统与模态表列之间存在某种对应关系,所以GL的分析性模态公理系统的完全性由GL的模态表列的完全性结果易证。GL的模态系统的完全性证明比较特殊,无法直接应用证明模态逻辑完全性的一般方法——典范模型方法,需要用一种过滤的方法挑出一些可能世界构造有穷模型。     

集合论新公理探究的哲学思考

究竟集合论是否需要新公理?它们是真的吗?我们如何知道?自哥德尔提出新公理纲领以来,对这些问题的回答伴随着长期的争论.有的逻辑学家基于自明性标准拒斥新公理,有的数学哲学家视新公理为“助探器”用于探索数学深度,也有集合论专家坚信新公理就是关于柏拉图集宇宙的真理.本文通过对这些争论的分析,可以揭示出,无论是新公理的支持者还是反对者,都普遍认同“公理客观有效性不能脱离主体的主观意向性而存在”,因此,当我们具体考察新公理和它们的合理依据时,不应当在忽略数学家的心智活动下给出批评或支持新公理的意见.     

深度和弱宽度有穷的传递逻辑的有穷可公理化（英文）

这篇文章研究深度和弱宽度都有穷的传递逻辑类的可有穷公理化问题,并给出了正反两方面的结论。在正面方面,本文证明了对每个深度有穷且弱宽度为1的传递逻辑L,如果L的框架中反链的禁自返点基数都不大于某个自然数n,那么L是有穷可公理化的。对于反面结论,本文证明了对任意n≥3和k≥2,存在深度为n且弱宽度为k的传递逻辑是不可有穷公理化的。     

一个与卢卡西维兹不同的亚里士多德三段论形式系统

30多年前,波兰数学家、逻辑学家卢卡西维兹首次用现代逻辑的方法对亚氏三段论进行形式化的研究,并建立了亚氏三段论的形式系统(以下简称LS)。LS使用4条公理和14个断定命题(即命题逻辑的定理)。4条公理是:     

带有完美记忆公理和无奇迹公理的EPDL系统的完全性（英文）

EPDL系统是PDL和EL的混合系统。EPDL的框架同时包含用于表示知识和用于表示动作的两种二元关系。完美记忆公理和无奇迹公理刻画了这两种关系的交互。本论文证明了含有完美记忆公理和无奇迹公理的EPDL系统相对于具有这两种交互性质的EPDL框架类的弱完全性。     

STIT逻辑的能力片段初探CSSCI

STIT理论作为刻画主体能动性的一类哲学逻辑,近来受到了多主体系统研究者们的关注。由于群体STIT逻辑被证明不可判定且无法有穷公理化,相关研究者们转而寻找其中可判定且可有穷公理化的片段。本文限制公式的定义,将目标限定在形如◇[a:cstit]φ及◇[G:cstit]φ的能力公式上,分别称之为个体STIT逻辑与群体STIT逻辑的能力片段。可以证明,如果只考虑STIT逻辑的能力片段,每个STIT模型都存在一个等价的邻域模型。此外,个体STIT逻辑与群体STIT逻辑的能力片段都是可有穷公理化的。     

从形式系统的整体性看法规

形式系统的整体性一般包括公理独立性、一致性和完全性,另外还有层次性的问题。独立性是指各公理间的不可推演性;一致性是指它们会不会导致矛盾的性质;完全性是指系统内的公理加推演规则能否演绎出系统内的所有定理的性质;层次性则要求系统层次分明,由分层本身不导致悖论。 一个意义完整的法规与形式系统有着本质的不同。首先,法规无所谓公理;其次,法规中不仅仅有陈述句,更多的是规范句;再者,法规条文使用容易产生歧义的自然语言,远不