休谟原则与弗雷格定理

弗雷格《算术的基本规律》中二阶逻辑理论FL是不一致的,在语法上可以推演出罗素悖论,在语义上,矛盾于康托尔定理,进而是不可满足的。通过仔细考察弗雷格的逻辑系统FL、FL的子系统FA以及算术还原为逻辑的推理过程,可以看出弗雷格在用公理五与概念的数的显定义推演出休谟原则后,不再实质依赖于公理五与概念的数的显定义。休谟原则与带完整二阶存在概括规则的二阶逻辑组成的系统FA是一致的,并且足以推出戴德金皮亚诺系统的五条公理,这实质上给出了不同于皮亚诺公理系统的另外一种算术公理化系统。根据自然数的定义,弗雷格实质上利用数学归纳法证明了每个自然数都有后继存在,加上后继的唯一性,弗雷格就保证了无穷多的自然数的存在。     

不可超越的无穷：关于直谓性和后继公理的关系

本文首先将新弗雷格主义的发展划分为三个阶段：（1）弗雷格算术（由二阶逻辑和休谟原则构成的理论）的一致性和对于二阶皮亚诺算术公理的可推出性的证明,（2）对休谟原则和二阶逻辑的哲学辩护与反驳,（3）对休谟原则和二阶逻辑进行限制,并证明其一致性和可推出性。然后着重介绍：（1）直谓二阶逻辑和公理V的一致性,（2）直谓二阶逻辑和休谟原则不能推出皮亚诺算术的后继公理。这说明一致性和可推出性在弗雷格系统的直谓片段中不可兼得。最后在直观上做出简单的分析。     

弗雷格定理:一个导言

戈特洛布·弗雷格是现代数理逻辑的奠基人,也是分析哲学的创始人之一。他的大部分工作都致力于建立一种数学哲学———逻辑主义:算术真理都是逻辑真理。长久以来,哲学家一直认为,罗素悖论彻底瓦解了弗雷格的工作。然而实际的情况是,在弗雷格那里隐藏着另一个证明:算术公理可以纯粹逻辑地从休谟原则推出。休谟原则是说,概念F的数和概念G的数相同当且仅当存在F和G之间的一一对应关系。这一结果被称为弗雷格定理,它引发了一种新的逻辑主义的兴起。     

皮亚诺的逻辑符号化思想

皮亚诺(G·Peano)是19世纪意大利著名的数学家,逻辑学家和语言学家。1884年起任都灵大学讲师、教授,并曾兼任都灵军事科学院教授。皮亚诺在数学基础方面取得了突出的成就,“皮亚诺五公理”作为自然数论的出发点沿用至今。但正如罗素所说,“许多现代的数学研究显然是在逻辑的边缘上,许多现代的逻辑研究是符号的形式的,以致对于每一个受过训练的研究者来说,逻辑和数学的非常密     

《算术基本规律》序言

弗雷格在两卷本的《算术基本规律》中以严格形式化的方式完成了逻辑主义的任务,即用逻辑符号定义算术符号,然后从逻辑公理推出算术公理。在该书的序言中,弗雷格首先重申了逻辑主义的目标及其哲学意蕴;其次,他介绍了《算术基本规律》一书的主要内容和阅读方法,并且说明了他的形式系统从《概念文字》到《算术基本规律》的转变过程;最后,他以埃德曼的《逻辑学》一书为靶子,激烈地批判了逻辑学中的心理主义思潮。     

弗雷格的《算术基本规律》

弗雷格被看作是分析哲学的奠基人和数理逻辑的创始人,然而,他的毕生工作都致力于建立一种被称为逻辑主义的数学哲学。他在《算术基本规律》一书中给出了执行逻辑主义方案的形式系统。然而,由于罗素悖论的发现,很少有人关注弗雷格的《算术基本规律》。本文将主要介绍《算术基本规律》一书,包括其符号系统的说明,公理、规则、定义和定理的说明,罗素发现的悖论以及弗雷格的补救措施。     

皮尔士研究专题

<正>编者按:在逻辑史上,查尔斯·皮尔士和弗雷格都是现代逻辑的主要奠基者,他们为量词设计了记法并几乎同时各自独立地建立起量化理论。19、20世纪的哲学伟人弗雷格、皮亚诺、罗素、维特根斯坦等已在"逻辑万神殿"中居于统治地     

紧缩论,证明与保守性

紧缩论者主张真谓词表达了一种逻辑概念,它的全部意义都体现在所有塔斯基式的T-语句中。Shapiro近来论证说,将紧缩论的公理添加到一阶皮亚诺算术公理系统(PA)中,在该扩张理论中能够证明PA的可靠性,并在此基础上证明PA的一致性,这表明紧缩论不具有保守性,因此真谓词不是紧缩的。本文论证,扩张理论预设了反射原则,这导致它推出了更多的东西,而反射原则是可证性谓词定义的推论,这才是造成扩张理论非保守性的真正根源。针对紧缩论的非保守性论证因此失效了。     

利用计算机从一种语言翻译成另一种语言

在我们眼前,一个新的技术部门——电子计算机技术正在蓬勃地发展着。电子计算机被用来解决需要复杂和繁重计算的各种数学问题。这种机器的组成部分是:记忆机构——“记忆”,它分成很多小格,在小格中能够保存按二进位写成的数或用数目字编号的某些对象;算术机构,用它能完成数目字的各种算术或逻辑动作;操     

哥德尔不完全性定理的推广形式及其哲学影响

本文主要有五方面内容:一是将哥德尔不完全性定理涉及的一致性、语法完全性、ω-一致性、相对于N的可靠性、相对于N的完全性、可定义性等元理论性质推广成更一般的形式,并对其性质进行深入研究;二是简要回顾Salehi和Seraji所证推广的哥德尔第一不完全性定理,并就其关键定理给出更简洁易读的新证明,同时额外证明2组推广的哥德尔第一不完全性定理:任给n 0,如果T是包含罗宾森算术的、Σ_(n+1)-可定义的(Π_n-可定义的)、Π_(n+1)-可靠的算术理论,那么T不是Π_(n+1)-决定的;三是简要回顾Seraji和本文作者所证推广的哥德尔第二不完全性定理,并给出新证明,同时额外证明2组推广的哥德尔第二不完全性定理:任给n 0,如果T是包含皮亚诺算术的、Σ_(n+1)-可定义的(Π_n-可定义的)、Π_(n+1)-可靠的算术理论,那么T不能证明自身Π_(n+1)-可靠性;四是用两种方法再证明4组与一致性相关的推广的哥德尔第二不完全性定理:任给n 0,如果T是包含皮亚诺算术的、一致的、Σ_(n+1)-可定义的(Πn-可定义的)、Σ_(n+1)-完全的(Π_n-完全的)算术理论,那么T不能证明自身一致性,同时给出2组可证自身一致性的算术理论;五是基于推广的哥德尔不完全性定理,从对形式化方法局限的反驳、对反机械主义的支持、对数学家地位的维护等三个方面重新审视哥德尔不完全性定理所产生的哲学影响。     

通向实数的第三条路——《算术的基本规律》中的实数理论

弗雷格的逻辑主义的一个组成部分是将实数理论还原为逻辑。在《算术的基本规律》中,实数被定义为量域中的量的比例,而量域是一个属于正类的类。尽管《算术的基本规律》中的系统有矛盾,但是这本著作中的实数理论能以一致的方式加以重构。库契拉选择在集合论的框架中重构它。他证明了弗雷格的量域和实数集是稠密连续有序且具有阿基米德性的阿贝尔群。本文在库契拉的重构的基础上,进一步指出它们是戴德金连续的阿基米德有序域。     

后现代科学哲学的数学思想渊源

数学历来被视为最严谨的学问。到19世纪,数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论得到扩展和更加完善;实数理论(和极限理论)的出现使微积分有了牢靠的基础;群论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰,等等。整个数学大厦因简洁(清晰)、有序(无矛盾)而给世人(包括数学家)最完美、最严谨的印象。在这种语境下,因算术以整数、分数等为对象,微积分以变数、函数为对象,几何以点、线、面及其组成的图形为对象,用集合论的语言,算术的对象可表述为     

早期胡塞尔对“数”概念的心理学分析

对"数"概念的阐明与分析是数学哲学无法避开的任务,现象学创始人胡塞尔最初从事的就是算术哲学方面的研究,但是他在《算术哲学》中实践了一条既不同于弗雷格,也不同于密尔的道路。借助于布伦塔诺的描述心理学方法,胡塞尔用抽象表象将心理学分析与对"数"概念的分析贯通了起来,试图寻找"数"概念的表象基础,阐明了数概念内涵的两个部分"和"与"一"作为纯粹形式的概念,是在内感知的基础上通过反思抽象而形成的。胡塞尔早期对"数"概念的研究是他后来转向现象学研究的重大契机,对此的研究也是胡塞尔研究的一个重要的,尚待挖掘的部分。     

胡塞尔《算术哲学》中的两种“心理主义”

胡塞尔《算术哲学》中的"心理主义"问题是学界长久以来争论的焦点。弗雷格等人认为,书中对"数概念的心理起源的分析"混淆了"对数的表象活动"和"数本身"这两者,犯了最低级的心理主义错误;而另一派学者则认为,胡塞尔并没有将"数本身"与心理活动或心理活动的创造物等同。然而,这一争论本身并未对准问题的实质。《算术哲学》存在两种意义上的心理主义:这一争论所涉及的此书第一部分即使是心理主义的,至多也只是一种"良性的"心理主义;真正"恶性的"心理主义则体现在第二部分和未出版的第2卷。将逻辑等同为人类思维活动的规律,这才是胡塞尔后来痛批的心理主义错误。     

弗雷格《概念文字》理解的两点注记

文章旨在简要地讨论弗雷格《概念文字》,指出其中的两个重要但被一些国内学者误解或忽略的贡献：首先我们指出,根据Boolos等人的论证,弗雷格《概念文字》中的逻辑本质上是带完整二阶存在概括规则的二阶逻辑,这点在国内一些学者的著作与文章中存在误解;其次,我们讨论弗雷格如何用遗传性概念来定义祖先关系,进而定义自然数或有穷数,并使得数学归纳法仅根据自然数的定义就得以成立,这也为弗雷格把算术还原为逻辑奠定了基础。     

六、七岁兒童数概念广度的实驗研究

目前我国小学教育工作中心任务之一乃是提高教学貭量。算术課程是小学的主要科目之一,一般說来,是儿童比較难于掌握的学习內容。而数概念的狹隘往往是学习算术中造成困难的主要原因。例如,編制1959年出版的小学一年級算术課本就曾提出100以內数概念能否为6、7岁的儿童所理解的問題。因此,对儿童掌握数概念的过程的研究,也就     

弗雷格在哲学史上的地位

假如弗雷格于1880年去世,作为现代数理逻辑的奠基人,他在哲学史上的地位依然是稳固的。事实上,他的重要意义远大于此。下面的事实可以部分地说明这一点:他开创了数理哲学的新纪元;给这个重要课题带来一种结果,从那时起,数理哲学常常从这个结果学到许多东西。但是,这仅仅说明了弗雷格的意义的很少一部分。在《算术基础》中,他对逻辑哲学或意义理论中基本观点的讨论,似乎从属于数理哲学的研究。但是任何人读了他后     

关于儿童算术的认知诊断

近年来认知发展心理学对儿童数学思维进行了广泛的研究。这些研究发现和积累了大量的关于儿童数学思维的发展过程、特点和规律性的知识,把这些知识应用到实践的一个重要领域是对儿童的算术能力作认知诊断。这是根据学校里算术教学实践的需要而提出的。例如算术老师通常会发现某个学生在课堂上算术成绩很差,但在其它课外活动中却表明他至少具有一般的智力水平,而这儿童既不象智力落后也不象情绪上受了挫伤。因此老师要求对这一儿童作一正式的诊断,以弄清造成他学习困难的认知的或其他的心理因素,     

儿童对部分与整体关系认识发展的实验研究——Ⅱ.4—7岁儿童数的组成和分解

目的 数的组成和分解是数的部分与整体问题,它与儿童对部分与整体关系的认识发展有密切的关系。J.皮亚杰曾从数的加法组成研究了数的部分与整体的关系,提出了与类的部分与整体关系相应的三个发展阶段,按他的指标认为儿童在7—8岁以前不能完全掌握数的部分与整体的关系。苏联梅钦斯卡娅对数的组成也做过阐述,主要说明数的组成如何成为算术运算的基础。近年来我国对3—7岁儿童数的组成、分解也进行过一些研究。     

逻辑性和弗雷格算术与简单类型论的逻辑主义CSSCI

弗雷格和罗素的逻辑主义由两个部分构成:可证明性论题和可定义性论题。可以很确信地说,可证明性论题并不能得到完全的辩护。但是,为了向两者,特别是可定义性论题,提供辩护或者拒斥之,我们需要逻辑性的标准来决定,除了其它常元的逻辑性之外,表示数的常元和表示属于关系的常元的逻辑性。我将采用的逻辑性标准是塔尔斯基和谢尔提出的同构不变量标准和费弗曼提出的同态不变量标准。塔尔斯基和谢尔在不同的地方已经指出罗素的表示属于关系的常元是同构不变量。在本文中,我将证明如下结论:第一,表示属于关系的常元是同态不变量;第二,弗雷格的表示数的常元既不是同构不变量也不是同态不变量;第三,如果逻辑性是同构不变量或者同态不变量,弗雷格的逻辑主义(弗雷格算术)的可定义性论题不成立;第四,如果逻辑性是同构不变量,罗素的逻辑主义(简单类型论)的可定义论题成立,但若逻辑性是同态不变量,这个论题则不成立。