论形式化

20世纪是理性主义和形式主义盛行的时代。形式化、数字化和虚拟化是20世纪人类文化的重要遗产,是我们进入新世纪的钥匙,也是21世纪哲学家必备的知识。所谓形式化,就是以形式语言为基础,以形式系统为工具,从希尔伯特方案的提出到哥德尔定理的证明所发展起来的一种重要的数学证明和推理方法。在20世纪形式化的发展进程中,最重要的一项成就是1931年哥德尔(K.G del)证明的不完全性定理。后来,这种方法被广泛应用到逻辑学、哲学、语言学及其他科学理论之中,成为一种重要的研究方法。形式化方法至今在西方特别是英美的学术领域仍然具有非常重要的…     

不完全性与形式语言

一、引言谈到哥德尔不完全性定理,有人说它动摇了逻辑基础①,也有人说它揭示了逻辑的局限性(Daw-son),甚至有人认为它表明数学的一致性不能证明(克莱因,第263-270页)。这些说法是否有充分的根据?本文仔细考察了哥德尔不完全性定理的涵义,试图对这些说法进行辩驳。哥德尔不完全性定理涉及形式语言的一些术语,因此要正确理解该定理的内涵,首先要了解形式语言的基本特点以及一些相关的重要概念。一阶逻辑和形式算术都属于一阶语言。形式语言是一种有结构的形式化的语言:它必须明确说明所有初始词,其中一些初始词称为“常项”②(Tarski,1983,p.…     

哥德尔的直觉主义逻辑思想

哥德尔（Kurt Godel）是现代逻辑史上的巨匠，他在逻辑史上有两大贡献：一是他证明了罗素和怀特海在《数学原理》中提出的一阶逻辑演算的完全性定理（1930），即任何有效的一阶公式都是可证的。二是他证明了著名的不完全性定理（1931），《数学原理》的系统和集合论的ZF公理系统不足以判定能在这些系统中形式化的所有数学问题...     

不完全性、构造论和真

是否宁择直觉主义语义而不要经典语义？已知接受语义原则需要接受相应的逻辑规律,是否宁择直觉主义逻辑而不要经典逻辑？哥德尔第二不完全性定理对这两个问题有结论吗？虽然在哥德尔1931年的结果发表以后已提出了该定理的一些非构造性证明,例如布洛斯1989年的证明,但好象哥德尔最初的证明显然不会对逻辑选择问题有什么意义,因为它明显地在经典立场和直觉主义立场之间保持中立。哥德尔认为值得提醒他的读者们,他的证明确实是构造性的。他指出,事实上,第一不完全性结果是“以一种直觉主义无可反对的方式”得到的,并且也是作为他下述断…     

对角线元素与不同复杂度的系统的关系

<正>对角线方法是指德国学者康托尔 ( G. Cantor) 在证明实数集不可数时所运用的一种技术方法。在这种意义上,康托尔的实数集不可数论本身便是对角线方法的一种重要运用。此外,对角线方法还有两种重要运用,即哥德尔对角线定理和汤姆逊引理的证明。哥德尔对角线定理又叫 "哥德尔自指定     

直觉与哥德尔对数学概念实体存在之证明——读《理性的生命——哥德尔思想研究》

存在柏拉图式的数学概念实体是哥德尔在哲学方面最重要的一个结论。《理性的生命———哥德尔思想研究》一书的作者用了整整一章来讨论这个问题 ,书中所列哥德尔对数学柏拉图主义的主要论证确实是哥德尔在他的著作中最强调的那些论证。现在我就在这本书工作的基础上 ,从诸多可能的观察点中选择一个观察点 ,也来看一看哥德尔为他的概念实在论所作的论证。我所选择的观察点 ,就是直觉或者哥德尔说的“数学直觉”对柏拉图主义数学观的证明作用。哥德尔的数学实体是柏拉图式的 ,是概念世界的存在物。它既不在物理的世界中 ,也不在心灵的世界中。…     

哥德尔的一阶逻辑完全性证明的原始版本

哥德尔的一阶逻辑完全性定理（1929）是数理逻辑的基石。当代的逻辑学学生学习数理逻辑时大都直接接触Henkin（1949）的改良证法,该法简明扼要,并将原证法的“关于可数语言的限制”扩展至“任意基数的语言”。本文用改进的当代逻辑学术语简要重述了哥德尔的一阶逻辑完全性定理的原始证明,这一证明在很大程度上已经为人所遗忘。作者并择要指出原证明中未声明地使用了Konig引理（1926）。     

模态逻辑的集合论语义与互模拟不变性

含有命题变元的非良基集合能够被看作解释模态语言的模型。任给非良基集合a,一个命题变元p在a上真当且仅当p属于a。命题联结词的解释与古典命题逻辑相同。一个公式3A在a上真当且仅当存在集合b属于a,使得A在b上是真的。在一个集合中,属于关系被看作可及关系。在这种思想下,我们可以定义从模态语言到一阶集合论语言的标准翻译。对任意模态公式A和集合变元x,可以递归定义一阶集合论语言的公式ST(A,x)。在关系语义学下,van Benthem刻画定理是说,在带有唯一的二元关系符号R的一阶语言中,任何一阶公式等价于某个模态公式的标准翻译当且仅当这个一阶公式在互模拟下保持不变。因此,模态语言是该一阶关系语言的互模拟不变片段。同样,我们可以在集合上定义互模拟关系,证明van Benthem刻画定理对于集合论语义和集合上的互模拟不变片段成立,即模态语言是一阶集合论语言的集合互模拟不变片段。     

控制論的所能

说人就是一种机器,即我们迄今所知道的最完善的控制机器,这种高度组织起来的控制机器和人没有任何区别,这是真的吗? 说机器可以有心灵,有感情(快乐的或悲伤的),会对某些东西不满意或抱有一定的希望,这是真的吗? 控制论是一门数学。它仅仅从一定的方面,即从量的方面(最广义的量的方面,它不仅包括数量方面,而且也包括组织和结构方面)来研究任一自动控制系统(不管它是技术系统,生物系统,还是社会系统)。控制论的优点正在于此。例如,共同的量的控制规律的发现,已经使我们有可能用计算机来模拟人脑的演算过程,并且反过来把人们     

整块并行分布处理与认知科学的计算主义基础

60年代后期,心灵哲学家(或译心智哲学家)之间曾有一场大争论,关涉哥德尔定理的不可判定命题是否为下述结论提供了很好的理由的问题:人脑在计算上天生地强于任何从原则上说可以构造出来的机械的(即非人类的)计算自动机。应予注意的是:这场争论产生于这样的时刻,当时人们公认计算自动机的具体例证是冯·诺意曼型的串行的,顺序操作的数字计算机。如今,W.D.希利斯(Hillis)已经发明一种具有完全相异结构的计算自动机,即所谓的“连接机”     

塔斯基定理的一种推广

当把塔斯基对真概念提出的T-模式拓展到有向图上,塔斯基定理成立与否取决于归谬过程中使用的悖论及有向图的特征。本文证明了在使用说谎者悖论证明塔斯基定理时,在并且仅在有向图中含有奇循环时,说谎者悖论才会导致矛盾;在使用佐丹卡片悖论证明塔斯基定理时,在并且仅在有向图中含有高度不能被4整除的循环时,佐丹卡片悖论才会导致矛盾,这表明当T-模式拓展到有向图时,哥德尔关于"认识论悖论"应用于不完全性证明的思想能够被非平庸地类推于真之不可定义性的证明中。     

哥德尔在构造主义数学方面的工作

众所周知,哥德尔是一位实在论者。然而,他在构造主义数学方面也有着精深的研究和重要的工作。例如,哥德尔的否定性翻译和《辩证法》翻译。这些方法在现今的数理逻辑研究,尤其是证明论中有广泛的应用。而本文关心的是这些工作在数学基础和数学哲学方面的价值。我们将介绍、整理哥德尔的这些成果,并试图将它们编制成一幅围剿直觉主义的布阵图。我们也会讨论其中的薄弱之处,并由此碰触哥德尔哲学中一些挣扎而神秘的地方:绝对证明、概念理论和心物关系。     

人生公式

人很难将某种癖性或行为坚持到底,无论是好的癖性还是坏的行为。这大概是毫无疑问的事情。毛主席早就教导我们：一个人做一件好事不难,难的是一辈子做好事。有人篡改了毛主席的语录说,一个人做一件坏事不难,难的是一辈子做坏事。说起来这个命题好像也能成立。因此,如果把毛主席那句话抽象出来,我们可以获得公式一：一个人做X不难,难的是一辈子做X。这个X几乎可以被置换为人世间任何一件具体的事情,比如勇气——我愿意冒险把勇气也大而化之地称作事情。     

哥德尔不完全性定理的推广形式及其哲学影响

本文主要有五方面内容:一是将哥德尔不完全性定理涉及的一致性、语法完全性、ω-一致性、相对于N的可靠性、相对于N的完全性、可定义性等元理论性质推广成更一般的形式,并对其性质进行深入研究;二是简要回顾Salehi和Seraji所证推广的哥德尔第一不完全性定理,并就其关键定理给出更简洁易读的新证明,同时额外证明2组推广的哥德尔第一不完全性定理:任给n 0,如果T是包含罗宾森算术的、Σ_(n+1)-可定义的(Π_n-可定义的)、Π_(n+1)-可靠的算术理论,那么T不是Π_(n+1)-决定的;三是简要回顾Seraji和本文作者所证推广的哥德尔第二不完全性定理,并给出新证明,同时额外证明2组推广的哥德尔第二不完全性定理:任给n 0,如果T是包含皮亚诺算术的、Σ_(n+1)-可定义的(Π_n-可定义的)、Π_(n+1)-可靠的算术理论,那么T不能证明自身Π_(n+1)-可靠性;四是用两种方法再证明4组与一致性相关的推广的哥德尔第二不完全性定理:任给n 0,如果T是包含皮亚诺算术的、一致的、Σ_(n+1)-可定义的(Πn-可定义的)、Σ_(n+1)-完全的(Π_n-完全的)算术理论,那么T不能证明自身一致性,同时给出2组可证自身一致性的算术理论;五是基于推广的哥德尔不完全性定理,从对形式化方法局限的反驳、对反机械主义的支持、对数学家地位的维护等三个方面重新审视哥德尔不完全性定理所产生的哲学影响。     

面向信息处理的自然语言逻辑研究——邹崇理《逻辑、语言和信息》评介

一逻辑学在 2 0世纪获得蓬勃发展 ,提出了构造形式系统和语义模型的技术手段。而自然语言本身就是一种特定的符号形式系统 ,能够接受语义模型的解释 ,因而从某种意义上说 ,自然语言的内在基础就是逻辑。另一方面 ,高度发达的计算机信息技术要求人们在逻辑的框架内去描述自然语言的特征。在机器的自动句法分析、以逻辑公式为中介语的机器翻译以及计算机的自然语言理解等领域 ,逻辑方法都发挥着巨大的作用。所以 ,近 30年来 ,逻辑的应用范围从数学和哲学扩大到语言学和计算机人工智能科学等领域 ,形成了所谓逻辑、语言和信息计算等学科的交叉…     

量子理论哲学涵义研究的新进展——《量子理论的哲学涵义:对贝尔定理的沉思》简介

量子力学为我们提供了关于世界的最一般理解,但其涵义则从量子力学诞生起就成为一个热烈争论的问题。爱因斯坦认为,必须把量子理论看作是一个基础上不完备的理论。例如它不能预言单个放射性原子嬗变的精确时间,这种不能预言只能归因于量子理论的缺陷,而不能归因于我们人类认识能力的局限性或自然界自身的非决定性。 这场争论旷日持久,20世纪的大物理学家几乎都参与了争论。1964年,约翰·贝尔推导出了一个以其名字命名的定理,即贝尔定理(亦称贝尔不等式)。贝尔定理表明,任何保留“定域性” (即拒斥超距作用)的决定论理论对于彼此远离的两个粒子所作的测量都具有确定的结果。但实验已经表明,事实上得不到这样的结果。事件集之间的关联要比任何“定域”决定论理论所能容许的关联强得多。更重要的是,这种强关联精确地与量子理论所作的预言一致。令人惊奇的结果是,古典类型的定域决定论理论似乎已被彻底地排除了。不仅目前对单个粒子的嬗变不能预言,而且将来也决不会再有任何理论能对之作出预言。     

可贵的尝试 有益的启示——读朱水林《形式化:现代逻辑的发展》

在今天,“任何科学都要运用逻辑”这个观点,已被越来越多的人所接受。那么,如何把这门科学的新成果及其重大意义简明扼要地介绍给广大青年呢?在这方面,朱水林同志在他的力作《形式化:现代逻辑的发展》(下文把该书简称为《形式化》)中。做了十分可贵的尝试。《形式化》一书立足于逻辑科学发展的最新阶段,选取并紧绕现代逻辑的三大成果——哥德尔不完全性定理、塔斯基形     

谈谈反证法和归谬法的区别

反证法和归谬法是逻辑思维活动中常用的证明方法。当人们直接证明某个论题感到力不从心的时候,往往会转而求助于反证法或归谬法。从理论上说,任何一个可证的命题.我们都能用反证法和归谬法得到证明。只不过在相当多的场合,我们没有必要这样做罢了。反证法和归谬法在证明中的作用是明显的,但是它们在实质上究竟是一种证明方法还是两种证明     

朱子论“命”

<正>张岱年先生认为,“命”是人生问题当中的一个重要问题,“孔子讲有命,以后儒家都主有命”,孔子所谓命“大致说来,可以说命乃指人力所无可奈何者。我们做一件事情,这件事情之成功或失败,即此事的最后结果如何,并非做此事之个人力量所能决定,但也不是以任何个人或任何其它一件事情所能决定,而乃是环境一切因素之积聚的总和力量所使然。如成,既非完全由于我一个人的力量;如败,亦非因为我用力不到;只是我一个因素,不足以抗广远的众多因素之总力而已。作事者是个人,最后决     

活出基督生命

主耶稣对我们说:"我就是道路、真理和生命,除非经过我,谁也不能到父那里去。"(若14:6)我们是有福之人,因为我们藉着洗礼成为天父的儿女,成为耶稣的门徒;所以,我们没有理由不去活出基督的生命,做一个天主的爱儿! 伟大的圣保禄宗徒说:"神恩虽有区别,却是同一的圣神所赐;职分虽有区别,却是同一的主所赐;功效