一个含有原子的自然模型∑（A）

1989年A.Blass和A.Scedrov构造了含有原子的模型V（A）（A是所有原子的集合,参见文献[1]）并证明了V（A）是ZFA（ZFA=ZF＋A,公理A断言：存在所有原子的集合）的模型。由于集合论的公理系统GB是ZF的一个保守扩充,因此,集合论的公理系统GBA（GBA=GB＋A,其中GB是集合论的含有集合和类的哥德尔－贝奈斯公理系统）也是ZFA的一个保守扩充。本文的目的是在集合论的含有原子和集合的公理系统ZFA的自然模型V（A）的基础上,为集合论的含有原子、集合和类的公理系统GBA建立模型。因此,我们首先介绍了A.Blass和A.Scedrov的含有原子的模型V（A）;第二,给出并证明V（A）具有的一些基本性质;第三,扩充了集合论的公理系统ZFA的形式语言LZFA并定义含有原子和集合的类C;第四,构造含有原子、集合和类的模型∑（A）,称它为自然模型,最后,证明了∑（A）是GBA的模型。     

连续统问题与Ω猜想

自从哥德尔和科恩证明了康托连续统假设相对于集合论公理系统ZFC的独立性之后,围绕着连续统问题,形式主义者和柏拉图主义者展开了持久争论。我们在本文中试图论证,武丁有关连续统假设所取得的最新进展有力地支持了柏拉图主义的立场。另一方面,我们把这些新进展看作是在哥德尔纲领下进行的工作,因此,作为一种哲学立场,柏拉图主义也推动着对集合宇宙的日益深刻的理解。     

模态逻辑的集合论语义与互模拟不变性

含有命题变元的非良基集合能够被看作解释模态语言的模型。任给非良基集合a,一个命题变元p在a上真当且仅当p属于a。命题联结词的解释与古典命题逻辑相同。一个公式3A在a上真当且仅当存在集合b属于a,使得A在b上是真的。在一个集合中,属于关系被看作可及关系。在这种思想下,我们可以定义从模态语言到一阶集合论语言的标准翻译。对任意模态公式A和集合变元x,可以递归定义一阶集合论语言的公式ST(A,x)。在关系语义学下,van Benthem刻画定理是说,在带有唯一的二元关系符号R的一阶语言中,任何一阶公式等价于某个模态公式的标准翻译当且仅当这个一阶公式在互模拟下保持不变。因此,模态语言是该一阶关系语言的互模拟不变片段。同样,我们可以在集合上定义互模拟关系,证明van Benthem刻画定理对于集合论语义和集合上的互模拟不变片段成立,即模态语言是一阶集合论语言的集合互模拟不变片段。     

循环并不可恶--《恶性循环:非良基现象的数学》评介

上世纪初,罗素悖论和其他几个集合论悖论的出现引起了许多著名数学家的震惊。为了排除悖论,集合论学者们借助公理方法对康托尔的理论和方法进行了系统整理,建立起了多种严谨的集合论体系,当今应用广泛的ZF集合论就是其中最为著名的一种。直观上集合与类不分,一个性质决定一个类,ZF集合论不能承诺所有这些类都是集合,它用基础公理FA来保证所承诺的集合都是良基的。说一个类X为良基的,是指不能有一个由类组成的无穷序列X1、X2、…、Xn、… (不一定都不相同 )使得…∈Xn∈…∈X2∈X1∈X成立。这样的无穷序列被称为从X开始的一条无穷∈降…     

集合概念及其在普通思维中的运用

集合这一概念是集合论的基本概念,在数学和数理逻辑中占有十分重要的地位。它在普通逻辑或一般形式逻辑中虽不是基本的或核心的概念,但也应占一定的地位。因为在普通思维(即以自然语言为基本手段的日常思维)中,确实常有使用集合概念或在集合意义上使用概念的情况。为了反映这一情况,在普通逻辑中引入集合概念,是完全必要的。     

论基础公理与反基础公理

"循环并不可恶"。本文在此基础上讨论基础公理和反基础公理。首先指出基础公理原本就是一条有争议的公理;第二,说明基础公理的局限性;第三,详细论述反基础公理家族中的三个成员,并给出它们两两不相容的一个证明;第四,分析反基础公理导致集合论域在V=WF上不断扩张的方法,并指出这种扩张的方法与数系扩张的方法相同;最后结论:良基集合理论(ZFC)与非良基集合理论(ZFC~-+AFA(或者ZFC和ZFC~-+FAFA或者ZFC和ZFC~-+SAFA))之间的关系类似于欧几里得几何学与非欧几何学之间的关系。     

国内五个地区5—15岁儿童交集概念的发展研究——儿童认知发展研究(Ⅰ)

一、问题集合是一些具有某种共同属性的元素的总称,集合概念是一个重要的数学概念,我国小学数学教材第一册就开始渗透集合论的思想。中学实验教材在初二进行集合论教学,现行统编教材中则在高二进行集合论教学,在研究方面,我国对于类概念,部分与整体关系的认知问题都已进行了较多的研究。本组关于3～7岁儿童数概念的研究中也曾涉及基数问题,群与子群的关系问题。这些都是同集合概念有联系的。可是对于交集概念的     

现代西方悖论研究

为了实现把数学还原为逻辑这一逻辑主义的基本纲领,弗雷格发明了一种表意文字,并用这种文字建立了一个表达逻辑规律和推理规律的初步自足的公理系统和一个高阶的逻辑系统,借助于这两个公理系统、他用一些基本的逻辑概念严格定义了自然数,并且建立了自然数的基本性质。然而就在他的工作即将完成之际,英国逻辑学家罗素却发现,在弗雷格的公理系统中,依靠“概括原则”可以推出“不属于自身的集合的集合”的悖论。这就是著名的罗素悖论。其实“罗素悖论”并不是首次在数学中发现的悖论。早在1895年弗雷格就在自己的集合论中发现了一个悖论。1899年康托也发现了一个更简单、更基本的集合论悖论,即著名的“康托悖论”。在此之后,人们又发现了一些其他悖论。随着越来越多的悖论的发现,兴起     

论宗教经验与宗教神秘主义--从约翰·希克的《第五维度》谈起

本文主要从约翰·希克的<第五维度>出发,谈宗教经验和宗教神秘主义.人总是有以超自然的方式来探求自然的内在倾向.人的本性中第五维度,即灵性的维度,它让每个人都有信仰的可能.我们的宇宙是一个含混的宇宙,包括我们认识宇宙的含混性,除了自然主义,宗教神秘主义也是从另一角度对宇宙的解释.但是,当我们以宗教的方法来解释宇宙的时候,我们就会发现,这种方法本身也具有含混性,于是约翰·希克提出宗教多元论假设成功地解决了这个矛盾.对于一些宣称体验到与终极实在本身完全合一的神秘主义,约翰·希克提出了反驳,认为对神圣者的体验只可能隐喻的统一,而不可能是字面完全的统一.     

论船山的易学思想及其现象学意蕴

王船山的易学思想具有丰富的现象学意蕴。首先，就对存在的整体领悟而言，船山将天道展示为终极的发生境域。其次，就人生在世的基本处境而言，船山将“继善成性”展示为天人之际的源始展开。最后，就人在宇宙中的位置而言，船山将“继天立极”展示为人道的终极理想。这三重展示构成了船山易学思想的义理内核，可以与现象学家们关于宇宙、人生的见解融通无碍。     

科学中问题的结构与问题逻辑(续)

三、问题的一般结构与求解机制前面我们已经把问题的形式归结为两种基本类型,即“E(S)?”和“(X)(?)T_T”。其实,这两种形式可以进一步归约为一种形式,由此还可以把问题的一般结构具体化。由于问题的指向和应答域总是可以表示为某种集合,因此,问题的一般结构也可以用集合论的语言形式地表示为:     

推荐五本世界公认的逻辑学著作

(1) G·Takeuti和W.M.Zaring的《公理化集合论导引》第2版(Introduction to Axiomatic Set Theory [2nd ed]),本书以Zermelo-Fraenke的理论为线索全面介绍公理化集合的Godel和Cohen相容性和独立性理论,用这种论述方式介绍,读者能较容易地掌握公理化集合论的基本理论以及其他相关结果,并进入到80年代的许多新的前沿课题。本书1971年初版,1982年第2版对初版作了全面刷新,增添了许多新内容,如Silver机、证明可构造性公理化相容性的结构设计等。本书可作为数理逻辑专业研究生一个学期集合论课程的标准教材。 (2) G·Takeuti和W.M.Zaring的《公理化集合论》(Axiomatic Set Theory)。本书是《公理化集合论导引》一     

本根之思——《画语录》“一画”概念新解

一画是石涛《画语录》美学思想的核心概念,它由一和画两个概念组合而成。参照古代哲学与画论中一与画的基本含义,结合《画语录》关于一画的论述,可以梳理出一画的三层含义:内含于宇宙混沌状态之中的创化、界分的力量、源泉及其运动,同时也是艺术创造本身的力量、源泉及其过程;作为宇宙万物的存在及其艺术化形象显现的本体与终极依据;既是宇宙万物之整全,亦是艺术创化的动态整体。这三种内涵正对应于中国哲学中本根的三项基本意义:始义、究竟所待义、统摄义。因此,在《画语录》中,一画既是宇宙本根,亦是艺术本根。它贯通于形上与形下两个层面,即道、理和笔、墨。     

大爆炸宇宙论与无神论--大爆炸理论缘何无助于有神论者

上世纪60年代中期．大爆炸宇宙论让获得了一定科学知识的有神论者欣喜若狂。因为这一理论表明,150万年前的一次大爆炸导致了宇宙的产生,有神论者认为这是证明上帝存在的最有力的科学证据。他们说宇宙显然不会无缘无故地产生,那么,最合理的假设就是上帝是宇宙产生的起因。他们的理论基于“任何事物的产生都有起因”这样一个假设。有神论者威廉·雷恩·克雷格(William Lane Craig)在其1994年所著《理智的信仰》(Reason- able Faith)一书中,应用了如下推理: 1．任何事物的产生都有起因。 2．宇宙产生了。 3．因此,宇宙有起因。他认为, “这个基本假设的正确性确凿无疑,     

区分集合概念和非集合概念的一种简便方法

汉语中有些语词,在不同的语境中可以分别表示集合概念和非集合概念。例如:“物质”作为哲学上的一大范畴,它是一切客观事物的总称,是集合概念,我们可以说“物质决定精神”。而在“水是物质”这句话中,它又是指一种具体的物质,是非集合概念。如果我们从上述两个判断推出“水决定精神”,就很可笑。     

论集合论的模型

本文讨论了ZF的经典模型和非经典模型,梳理了它们的最新动态,并且将ZF的广义代数值模型推广到基于形式不一致逻辑的弗协调集合论。该推广过程的关键在于解决两个问题:第一,这类弗协调集合论是否包含不是一致的集合;第二,在模型中如何处理相等关系=,以便它能够满足莱布尼兹公理。此外,本文构造的广义代数值模型具有一定的可推广性。     

道是不息的生命活力

一、道是宇宙的无限生机和能量 中国人喜欢说"求道"、"学道"、"明道"、"行道"、"弘道",中国人相信宇宙、社会、人生中有终极的真理,它指示出一条最健康的路,那就是道.循此而为,是为有道;沿此而行,是为正道.     

终极根源概念及其谱系:上博简《恒先》的“恒”探微

出土文献《恒先》中的"恒"不能再从时间上的"恒常""恒久"等意义上去理解了,它更不能读为"极"。主要立足于《恒先》文本自身中"恒"的用法和意义,同时根据早期道家宇宙生成论模式的比较和"恒"的位置,根据"恒"字和它在先秦儒家等哲学中的演变,《恒先》中的"恒"同早期道家的"道""一"和"太一"一样,已经成了一个指称恒常物、恒久实体的名词,成了指称宇宙和万物终极根源的概念和符号。     

古代理学家所认识的天主

中国理学家找到了一条到达天主的坦途,是前人所不曾揭示过的。这条路看似十分隐微,其实,一经理学家阐述,这竟是一条康庄大道 北宋周敦颐(1017—1073)开理学之先河,“他在哲学上继承《易传》和道学家(老、庄)的思想,提出‘无极而太极’的宇宙形成学说,他认为,‘太极’是宇宙的原因。”(《哲学辞典·周敦颐》) “无极”,是说天主的性体没有限度;“太极”,是说天主是宇宙的终极原因。“天主,群山尚未形成,宇宙尚未出现,你就是无始无终     

柏拉图论宇宙的唯一性

《蒂迈欧》中的宇宙唯一性论证,既包括从神的善意而来的外部论证(模仿动物理念而造的宇宙是唯一的),也包括从内部构成成分来说的内部论证(用尽了一切的宇宙是唯一的)。这两个论证的合理连接来自对"囊括者"概念的正确理解。在外部论证中,通过诉诸囊括者概念,可见宇宙和动物理念这两个整体之间建立起了结构类比,宇宙也因此获得了生成界最大囊括者的形式性特征,因此是唯一的。在内部论证中,"囊括者"所代表的整体部分关系具体到宇宙内部:其"部分"被确定为元素;"囊括一切于自身之中"也被具体化为穷尽了所有能量和元素;因此宇宙是唯一的。内部论证同时针对原子论者的多宇宙观,并对其同名"囊括者"概念进行了改造。最后,柏拉图也称宇宙灵魂是囊括者,其"部分"是数学比例。宇宙灵魂的创造穷尽了音律学中所有的和谐比例,它在时空中首先被按照长度展开,体现为按比例分配带动恒星和行星的同圜与异圜;其次,在面和体上的表达为火、土、气、水所对应的四、六、八、二十正多面体及宇宙和灵魂所对应的球体。这种数学关系是囊括者内在统一性的来源,也是柏拉图在不同等级的囊括者之间建立起同构类比的原因。五个宇宙的假设也可以看作是从理念、纯比例(按照长度)、面、体及生成之宇宙这五个层面对囊括者存在结构的分别表述。