弗雷格的《算术基本规律》

弗雷格被看作是分析哲学的奠基人和数理逻辑的创始人,然而,他的毕生工作都致力于建立一种被称为逻辑主义的数学哲学。他在《算术基本规律》一书中给出了执行逻辑主义方案的形式系统。然而,由于罗素悖论的发现,很少有人关注弗雷格的《算术基本规律》。本文将主要介绍《算术基本规律》一书,包括其符号系统的说明,公理、规则、定义和定理的说明,罗素发现的悖论以及弗雷格的补救措施。     

现代西方悖论研究

为了实现把数学还原为逻辑这一逻辑主义的基本纲领,弗雷格发明了一种表意文字,并用这种文字建立了一个表达逻辑规律和推理规律的初步自足的公理系统和一个高阶的逻辑系统,借助于这两个公理系统、他用一些基本的逻辑概念严格定义了自然数,并且建立了自然数的基本性质。然而就在他的工作即将完成之际,英国逻辑学家罗素却发现,在弗雷格的公理系统中,依靠“概括原则”可以推出“不属于自身的集合的集合”的悖论。这就是著名的罗素悖论。其实“罗素悖论”并不是首次在数学中发现的悖论。早在1895年弗雷格就在自己的集合论中发现了一个悖论。1899年康托也发现了一个更简单、更基本的集合论悖论,即著名的“康托悖论”。在此之后,人们又发现了一些其他悖论。随着越来越多的悖论的发现,兴起     

弗雷格定理:一个导言

戈特洛布·弗雷格是现代数理逻辑的奠基人,也是分析哲学的创始人之一。他的大部分工作都致力于建立一种数学哲学———逻辑主义:算术真理都是逻辑真理。长久以来,哲学家一直认为,罗素悖论彻底瓦解了弗雷格的工作。然而实际的情况是,在弗雷格那里隐藏着另一个证明:算术公理可以纯粹逻辑地从休谟原则推出。休谟原则是说,概念F的数和概念G的数相同当且仅当存在F和G之间的一一对应关系。这一结果被称为弗雷格定理,它引发了一种新的逻辑主义的兴起。     

国内悖论研究概述

悖论作为一种特殊的思维矛盾,几乎涉及抽象科学理论的每个领域。由于逻辑、数学、语言学和哲学,以及某些现代科学(如一般系统论、量子力学、相对论等)都是抽象程度较高的理论,它们在不同方面、不同层次、不同程度上均涉及对人类思维本性的研究,因而,在这些科学理论体系中就相继出现了悖论。然而,把悖论作为一个相对独立的范畴进行研究,一直是逻辑界和数学界争论不休的哲学问题。在国外,悖论研究已有八十多年的历史。值得介绍的理论有:罗素的“类型论”、塔尔斯基的“语言层次论”、哥德尔的“不完全性定理”、赫兹贝格的“朴素语义学”、雷歇尔和布兰登的“不协调逻辑”、普里斯特和罗特列的“超协调逻辑”,等等。在国內,近些年来有的同志已经开始对悖论进行思考和研究,现将有关理论问题概述如下。     

罗素的替代理论

在1903年到1908年间,罗素提出、发展并最终放弃了一种悖论解答方案——替代理论。罗素从摹状词理论中得到启示:悖论源自虚假抽象。替代理论的基本概念"替代"可以避免虚假抽象,通过使用替代运算来定义类和自然数,替代理论在一定程度上获得了成功。然而替代悖论的发现促使罗素最终放弃了替代理论,并走向了分支类型论。     

罗素悖论的预言者——施罗德与策梅罗

罗素悖论是逻辑学中极为重要的一个悖论,它对现代逻辑的推进和完善起到了关键的作用.但学界对罗素悖论提出的背景和逻辑学界的研究状况了解不多.在罗素悖论提出之前,逻辑学家施罗德、策梅罗等就已经展开了对罗素悖论及类型理论雏形的讨论.不少逻辑学家和哲学家,如弗雷格、罗素、胡塞尔和维纳等都对这两人的贡献进行了评价与分析.     

休谟原则与弗雷格定理

弗雷格《算术的基本规律》中二阶逻辑理论FL是不一致的,在语法上可以推演出罗素悖论,在语义上,矛盾于康托尔定理,进而是不可满足的。通过仔细考察弗雷格的逻辑系统FL、FL的子系统FA以及算术还原为逻辑的推理过程,可以看出弗雷格在用公理五与概念的数的显定义推演出休谟原则后,不再实质依赖于公理五与概念的数的显定义。休谟原则与带完整二阶存在概括规则的二阶逻辑组成的系统FA是一致的,并且足以推出戴德金皮亚诺系统的五条公理,这实质上给出了不同于皮亚诺公理系统的另外一种算术公理化系统。根据自然数的定义,弗雷格实质上利用数学归纳法证明了每个自然数都有后继存在,加上后继的唯一性,弗雷格就保证了无穷多的自然数的存在。     

“阿基里斯追龟”辨析

疑难推理中,最引人注目的是悖论。自从1901年罗素从弗雷格的《数学基础》中举出了有名的罗素悖论之后,八十年来,悖论已成为数学、哲学、逻辑、语言的重大研究课题。但是悖论的雏形古已有之。著名的芝诺四悖论就是。长期以来,人们很少从逻辑上考察芝诺悖论究竟“障”在哪里,有的人甚至把芝诺的四悖论当作无聊的诡辩而加以嘲笑,这是不足取的。本文从逻辑上为芝诺悖论做一点辩诬工作,以发掘其中的积极因素。     

逻辑分析方法的若干误解辨析

逻辑分析方法就是在科学中大行其道的假说演绎法,它本质上属于归纳而不是演绎的范畴,它的目的并不追求确实性的知识,而是将纷繁复杂的寻常的事物或现象还原为逻辑上更原始、更简单的概念或原理,从而深化我们对寻常事物或现象的理解。罗素在数学基础领域和分析哲学领域的两项具体成就——逻辑主义和摹状词理论——是它的杰出范例。逻辑分析方法与综合法并不冲突,而是各有各的用处。奎因的整体主义也不构成对逻辑分析方法的挑战,而毋宁是对它的补充或完善。虽然罗素对逻辑分析方法的应用有这样那样的不足之处,但并不影响罗素作为逻辑分析方法创立者的伟大。     

悖论研究在科学方法论中的地位和作用

自伯特兰·罗素等人在素朴集合论中发现悖论以来,悖论研究一直是数学哲学和逻辑哲学的重要课题,甚至是其一定时期的核心课题。然而,以研究科学方法论为核心内容的科学哲学,却一直未能给予悖论研究以足够的重视。本文试图说明,悖论研究在科学方法论中有着重要的地位和作用,应成为科学哲学研究的重要内容。     

一种处理集合论悖论的新方法

本文介绍了一种处理集合论悖论的新方法——弗协调集合论。本文首先以罗素悖论和等值悖论为代表,考察了处理悖论的已有方法 ZF、NBG、NF、直觉主义;其次,从弗协调逻辑出发,分类概述了弗协调集合论的现状;最后,考察了弗协调集合论对罗素悖论和等值悖论的处理情况,证明弗协调集合论在处理集合论悖论方面是成功的。     

论现代数学背景下的康德几何观

<正>在对数学的哲学基础研究中,20世纪通常说来有三大流派:逻辑主义、形式主义和直觉主义。但在哥德尔定理出现以后,一致性问题给逻辑主义和形式主义带来了难以克服的困难;而直觉主义又很难对数学中的"抽象实体"作出合理的解释,并且数学中有些重要定理的证明完全超出了直觉主     

罗素的“悖论”

英国现代数理学家、哲学家罗素,是数学中逻辑主义学派的代表人物。1903年他提出了著名的“悖论”,导致了“集合论”理论的发展。　　所谓悖论,是从一些貌似正确的或看来可接受的约定出发,经过简明正确的推理,却得到自相矛盾的结论。例如,对一个命题,如果假定它为真,经过无懈可击的推理,却推出它为假;但假定它为假,又能推出它为真。这样的命题就是一个悖论。　　下面是罗素提出的一个命题：　　某理发师规定：他只给那些自己不给自己刮脸的人刮脸。这个理发师该不该给自己刮脸呢？　　很显然,如果这个理发师给自己刮脸,那么按规…     

分析哲学、维特根斯坦和马克思

从洛克、贝克莱和休谟对知识和理念问题所提出的典型的英国经验主义学说,到康德和黑格尔的唯心主义,再到社会研究的释义唯心主义同宣布哲学终结的马克思的社会科学唯物主义之间的分歧点,这一历史的转变过程,同20世纪说英语国家的文化、分析哲学活动和科学哲学的某些主要哲学思潮的发展,有着明显的相似之处。分析哲学活动发端于本世纪初罗素和穆尔对英国黑格尔主义的抨击以及罗素和维特根斯坦的逻辑原子主义的发展。罗素融合了两种思潮:沿着休谟、边沁和穆勒而延续下来的英国经验主义,和因弗雷格而复兴的19世纪的形式逻辑。罗素的逻辑原子主义是经验主义的,逻辑实证主义则把它加以发展,使经验上的可证实性成为意义的标准。维特根斯坦的贡献在于他提出了一种逻辑学和逻辑哲学的学说。根据这一学     

《数学·逻辑与哲学》评介

由郑毓信与林曾合著的《数学·逻辑与哲学》一书,最近已由湖北人民出版社出版。这是国内系统地探讨数学、逻辑与哲学之间辩证关系的第一本专著。当代科学发展的一个重要趋势是各门学科的相互渗透,而数学、逻辑与哲学发展所表现出来的密切联系正是这种趋势的一个特例。自十九世纪二十世纪之交发现集合论悖论以来,围绕如何建立可靠的数学基础问题,数学家、逻辑学家和哲学家开展了大量     

理念主义与形式主义的巴别塔

圣经里讲了一个关于语言的故事,早期的先民们使用相同的语言,尝试建立通天的巴别塔,这个计划因为语言变乱而失败。这个故事或许隐喻着:人类是不可能通过语言来达到真理的。然而,人类自从吃了知识果,走出了伊甸园,就担当起自己的运命。从理念主义(Rationalism)和形式系统(Formalism)这两条线索,人类尝试着重建新的巴别塔。我们从理念主义的线索,沿着柏拉图的理念世界,到康德的先天准则,再到胡塞尔的本质直观,评论了理念主义的不自明性,提出了使用处于构造之中的"共相"来代替"理念"或者"本质"。维特根斯坦提出"家族相似",反对理念主义和本质主义,但"家族相似"可能过于宽泛。另一方面,从形式主义的线索,沿着莱布尼兹的通用计算,到弗雷格和罗素的逻辑主义,到希尔伯特的形式主义纲领,再到哥德尔不完备性定理,评论了逻辑主义和形式主义的失败。形式主义失败之后,人们转向形式主义的能力范围研究,从而提出了图灵机,为计算机科学的出现奠定了理论基础。基于以上的思考,文中最后提出一些有待研究的问题,比如基于关系的数学,基于谓词的逻辑,矛盾但完备的形式系统。     

悖论,类型论以及解救悖论的其它方法(续)

罗素的观点看来是主张,类型论提供了避免一切悖论的方法,此外类型论在本质上还是这种方法的理论基础。让我们依次来考虑这两点。晚近的作者在所谓“语义悖论”和集合论悖论之间作出了区分,而罗素没有这样做。埃匹曼尼德悖论被称为语义悖论,因为它在本质上涉及到真的概念(谎话是不真的);并且“真”被称作一种语义关系,因为它是     

两类有代表性的悖论——悖论漫谈之二

悖论从形态上可分为两类,即逻辑悖论与语义悖论。罗素不赞成把悖论划分为两类,因为他认为所有悖论的产生都是同一种错误的结果,即都是由于违反“恶性循环原则”(一个“集合”自身必不是这个“集合”的元素)而造成的。他的观点不是没有道理的,从悖论的特征及其形成的深层原因看,确实这种划分并不重要。但是这种划分又是可能的;逻辑悖论导致了集合论的发展,而语义悖论则导致了语义学的发展。     

哥德尔的直觉主义逻辑思想

哥德尔（Kurt Godel）是现代逻辑史上的巨匠，他在逻辑史上有两大贡献：一是他证明了罗素和怀特海在《数学原理》中提出的一阶逻辑演算的完全性定理（1930），即任何有效的一阶公式都是可证的。二是他证明了著名的不完全性定理（1931），《数学原理》的系统和集合论的ZF公理系统不足以判定能在这些系统中形式化的所有数学问题...     

逻辑斯谛

近代数理逻辑在其生长的过程中曾遭受到许多资产阶级学者的歪曲。其中主要流派之一是以罗素为代表的逻辑主义;他与怀德海合写了一部大书——“数学原理”,企图把全部古典数学从一个逻辑系统中推演出来。罗素的这种系统被给与一个名称,叫作逻辑斯谛。它对于数理逻辑的这种唯心主义的歪曲,曾为一些先进的科学代表人物(如奥国的数理逻辑学家哥德尔)有力地加以驳斥;近来苏联逻辑学家也曾不断地给以批判。近代数理逻辑正是在与这种和其他各种唯心主义的歪曲的斗争中日益成长与壮大。下面这一篇文章是对于“数学原理”一书的内容的简要介绍,作者的观点自然是有问题的,它的介绍未必很好。但它也提供了一些基本材料,所以发表出来,以供参考。